미분계수
본문공을 떨어뜨리면 \(t\)초 동안 떨어진 거리는 약 \(5t^2\) m이다. 처음 2초 동안의 평균 속력은 \(\dfrac{20}{2} = 10\) m/s이다. 그런데 정확히 2초가 되는 '그 순간'의 속력은 얼마일까? 순간에는 시간이 흐르지 않는데, 거리를 시간으로 나누는 속력을 어떻게 정할까?
2.1.1평균변화율
함수 \(y = f(x)\)에서 \(x\)가 \(a\)에서 \(a + h\)까지 변할 때 \(y\)의 변화량을 \(x\)의 변화량으로 나눈 값 \(\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}\)를 평균변화율이라 한다. 그래프에서는 두 점 \((a, f(a))\)와 \((a + h, f(a + h))\)를 잇는 직선, 곧 할선의 기울기이다. 공의 경우에는 그 시간 동안의 평균 속력이다.
\(t = 2\)부터 \(2 + h\)초까지의 평균 속력을 계산해 보자. \(\dfrac{5(2 + h)^2 - 20}{h} = \dfrac{20h + 5h^2}{h} = 20 + 5h\)이다. 그림 1의 슬라이더로 \(h\)를 1에서 0.1, 0.05로 줄이면 평균 속력은 25, 20.5, 20.25로 20에 다가간다.
2.1.2순간변화율과 미분계수
시간 간격 \(h\)를 0으로 할 수는 없지만, \(h \to 0\)일 때의 극한은 구할 수 있다. \(\displaystyle\lim_{h \to 0}(20 + 5h) = 20\)이다. 이 극한값을 2초 순간의 속력으로 정한다. 즉 순간의 빠르기는 '아주 짧은 시간의 평균 빠르기가 향하는 값'이다.
함수 \(y = f(x)\)에 대하여 극한값 \[f'(a) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a + h) - f(a)}{h}\] 가 존재할 때, 이것을 \(x = a\)에서의 순간변화율 또는 미분계수라 하고, \(f(x)\)는 \(x = a\)에서 미분가능하다고 한다.
그래프에서 \(h \to 0\)이면 두 번째 점이 첫 번째 점으로 다가가고, 할선은 그 점에서 곡선에 닿는 한 직선으로 다가간다. 이 직선을 접선이라 한다. 따라서 미분계수 \(f'(a)\)는 점 \((a, f(a))\)에서의 접선의 기울기이다.1
2.1.3예제 풀이
함수 \(f(x) = x^2 - 3x\)에서 \(x = 1\)부터 \(x = 3\)까지의 평균변화율과 \(x = 1\)에서의 미분계수를 구하여라. 또 평균변화율과 같은 미분계수를 갖는 \(x\)를 구하여라.
평균변화율은 \(\dfrac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \dfrac{0 - (-2)}{2} = 1\)이다.
미분계수는 정의대로 \(\dfrac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \dfrac{(1 + h)^2 - 3(1 + h) + 2}{h} = \dfrac{h^2 - h}{h} = h - 1\)이므로 \(f'(1) = \displaystyle\lim_{h \to 0}(h - 1) = -1\)이다. \(x = 1\)에서 접선은 오른쪽 아래로 내려간다.
일반적인 \(a\)에서 같은 계산을 하면 \(f'(a) = 2a - 3\)이다. 이것이 평균변화율 1과 같으려면 \(a = 2\)이다. 구간 \([1, 3]\)의 가운데에서 접선이 할선과 평행해지는 것인데, 이 사실은 뒤의 평균값 정리로 이어진다. 아래 탐구 카드에서 \(h\)를 줄이며 할선이 접선으로 바뀌는 모습과, 곡선을 확대하는 모습을 직접 보자.
- \(x = a + h\)로 두면 미분계수는 \(f'(a) = \displaystyle\lim_{x \to a}\frac{f(x) - f(a)}{x - a}\)로도 쓸 수 있다. 두 식은 같은 극한을 다른 문자로 쓴 것이다.
평균변화율은 두 점을 잇는 할선의 기울기이고, 간격 \(h\)를 0으로 보낸 극한이 순간변화율, 곧 미분계수이다. 미분계수는 그 점에서의 접선의 기울기이다. 그래서 처음 질문의 공이 떨어진 지 정확히 2초 되는 순간의 속력은 \(\lim_{h \to 0}(20 + 5h) = 20\) m/s이다.