함수의 극한

\(f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}\)은 \(x = 1\)에서 분모가 0이 되어 값이 정해지지 않는다. 그런데 \(x\)에 0.9, 0.99, 0.999나 1.1, 1.01, 1.001을 넣어 보면 함숫값이 어떤 수에 점점 가까워진다. 값이 없는 곳에서 '다가가는 값'을 어떻게 정확히 말할 수 있을까?

1과의 거리 \(h\) =

1.1.1다가가는 값

\(x \ne 1\)이면 분자를 인수분해해 \(f(x) = \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1\)로 약분할 수 있다. 그래서 \(f\)의 그래프는 직선 \(y = x + 1\)에서 점 \((1, 2)\) 하나만 빠진 모양이다. 그림 1의 슬라이더로 \(x\)를 1에 더 가까이 옮겨 보면, 1의 왼쪽에서든 오른쪽에서든 함숫값은 2에 한없이 가까워진다.

일반적으로 \(x\)가 \(a\)가 아니면서 \(a\)에 한없이 가까워질 때, \(f(x)\)가 일정한 값 \(L\)에 한없이 가까워지면 '\(x \to a\)일 때 \(f(x)\)는 \(L\)에 수렴한다'고 한다. 여기서 \(x = a\)에서의 함숫값은 따지지 않는다. 극한은 '그 점에서의 값'이 아니라 '그 점 근처의 값들이 향하는 곳'이기 때문이다.

1.1.2좌극한과 우극한

\(x\)가 \(a\)보다 작은 쪽에서 다가갈 때의 극한을 좌극한 \(\displaystyle\lim_{x \to a-} f(x)\), 큰 쪽에서 다가갈 때를 우극한 \(\displaystyle\lim_{x \to a+} f(x)\)라 한다. 극한값이 존재하려면 두 값이 같아야 한다. 가령 \(g(x) = \dfrac{|x|}{x}\)는 \(x < 0\)에서 \(-1\), \(x > 0\)에서 1이므로, \(x \to 0\)일 때 좌극한은 \(-1\), 우극한은 1이어서 극한값이 존재하지 않는다.

그림 2의 오른쪽처럼 \(x \to 0\)일 때 \(\dfrac{1}{x^2}\)이 한없이 커지는 경우도 있다. 이때는 어떤 값에 수렴하지 않으므로 '양의 무한대로 발산한다'고 하고 \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2} = \infty\)로 쓴다.¹

1.1.3예제 풀이

\(x\)가 1보다 작으면서 1에 다가가면 \(f(x) = x^2\)이 1에 다가가므로 좌극한은 1이다. \(x\)가 1보다 크면서 다가가면 \(f(x) = 3 - x\)가 2에 다가가므로 우극한은 2이다. 두 값이 다르므로 \(\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)\)는 존재하지 않는다.

식을 \(k - x\)로 바꾸면 우극한은 \(k - 1\)이다. 극한값이 존재하려면 좌극한과 같아야 하므로 \(k - 1 = 1\), 곧 \(k = 2\)이다.

\(k = 2\)이면 두 식은 \(x = 1\)에서 같은 높이 1에서 만나, 그래프가 끊기지 않고 이어진다. 극한이 '이어짐'과 깊이 관련된다는 것은 다음 절의 연속에서 다시 본다. 아래 탐구 카드에서 \(x\)를 한쪽씩 다가가게 하며 좌극한과 우극한을 직접 비교해 보자.

1. \(\infty\)는 수가 아니라 '한없이 커진다'는 상태를 나타내는 기호이다. 그래서 \(\lim f(x) = \infty\)이면 극한값이 존재한다고 하지 않는다.