함수의 연속

택시 요금은 거리가 일정하게 늘 때마다 100원씩 뛰어오르고, 물의 온도는 시간에 따라 끊김 없이 변한다. 그래프로 그리면 하나는 계단처럼 끊기고 하나는 이어진다. 연필을 떼지 않고 그릴 수 있다는 느낌을 수학의 말로 어떻게 정확히 바꿀까?

그래프 고르기

1.3.1끊기는 세 가지 방식

그림 1에서 그래프를 하나씩 골라 보자. 첫째는 \(x = a\)에 구멍이 나서 함숫값이 정의되지 않은 경우이다. 둘째는 왼쪽과 오른쪽에서 다가가는 높이가 달라 극한값이 없는 계단이다. 셋째는 극한값은 있지만 \(x = a\)의 점만 엉뚱한 높이에 따로 찍힌 경우이다. 셋 모두 연필을 한 번 떼어야 그릴 수 있다.

그렇다면 이어지려면 무엇이 필요할까? \(x = a\)에서 값이 있어야 하고, 근처의 값들이 한 높이로 모여야 하며, 그 높이가 바로 \(x = a\)의 값이어야 한다. 이 세 조건을 그대로 정의로 삼는다.

정의의 세 조건이 그림 1의 세 가지 끊김에 하나씩 대응한다. (ⅰ)이 없으면 구멍, (ⅱ)가 없으면 계단, (ⅲ)이 없으면 떨어진 점이다. 그래서 연속인지 확인하려면 함숫값, 좌극한, 우극한 세 값을 구해 모두 같은지 보면 된다.

1.3.2구간에서의 연속

함수가 어떤 구간의 모든 점에서 연속이면 그 구간에서 연속이라 하고, 그런 함수를 연속함수라 한다. 닫힌구간 \([a, b]\)에서는 끝점에서 바깥쪽 값을 볼 수 없으므로, \(x = a\)에서는 우극한만, \(x = b\)에서는 좌극한만 함숫값과 같으면 된다.

다항함수는 실수 전체에서 연속이다. 유리함수는 분모가 0이 아닌 모든 점에서, 무리함수 \(\sqrt{x}\)는 \(x \ge 0\)에서 연속이다.¹

1.3.3예제 풀이

\(x \ne 2\)이면 \(\dfrac{(x - 2)(x + 3)}{x - 2} = x + 3\)이므로 \(\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x) = 5\)이다. (ⅰ)과 (ⅱ)는 갖추어졌으니 (ⅲ)이 성립하려면 \(f(2) = k = 5\)여야 한다.

\(g(x)\)는 \(x < 1\)과 \(x > 1\)에서 각각 다항함수라 연속이다. 따라서 이어 붙인 \(x = 1\)만 보면 된다. 좌극한은 \(1 + 1 = 2\), 우극한과 함숫값은 \(a \times 1^2 = a\)이므로, \(a = 2\)일 때 세 값이 모두 같아 연속이다.

\(a = 2\)이면 \(g\)의 그래프는 직선 \(y = x + 1\)이 점 \((1, 2)\)에서 포물선 \(y = 2x^2\)으로 끊김 없이 바뀐다. 이어지는 높이만 맞추었을 뿐 꺾임이 있을 수 있다는 것은 미분에서 다시 따진다. 아래 탐구 카드에서 세 가지 끊김을 직접 만들고 고쳐 보자.

1. \(f\), \(g\)가 \(x = a\)에서 연속이면 \(f \pm g\), \(cf\), \(fg\)도 연속이고, \(g(a) \ne 0\)이면 \(\tfrac{f}{g}\)도 연속이다. 극한의 성질에서 바로 나오며, 다음 절에서 자세히 다룬다.