연속함수의 성질

아침 6시에 5 °C였던 기온이 낮 2시에 18 °C가 되었다. 그 사이 어느 순간에 기온이 정확히 10 °C였다고 단정할 수 있을까? 또 하루 중 가장 더운 순간은 반드시 있을까? 기온이 끊김 없이 변한다는 사실 하나로 이런 질문에 답할 수 있을까?

목표 값 \(k\) =

1.4.1연속함수끼리의 계산

두 함수 \(f\), \(g\)가 \(x = a\)에서 연속이면 \(\lim f = f(a)\), \(\lim g = g(a)\)이다. 극한의 성질에 따라 \(\lim (f + g) = f(a) + g(a)\)이므로 \(f + g\)도 연속이다. 같은 이유로 차, 상수배, 곱도 연속이고, \(g(a) \ne 0\)이면 몫 \(\tfrac{f}{g}\)도 연속이다. 그래서 연속함수를 더하고 곱해 만든 다항함수와 유리함수는 정의된 곳에서 모두 연속이다.

1.4.2최대·최소 정리

닫힌구간에서 연속인 함수는 그 구간에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 반드시 갖는다. 끝점을 포함한 구간에서 그래프가 끊김 없이 이어지므로, 어디에서 한없이 커지거나 가장 높은 곳이 구멍으로 빠질 수 없기 때문이다.

조건이 하나라도 빠지면 성립하지 않을 수 있다. 열린구간 \((0, 1)\)에서 \(f(x) = x\)는 1에 한없이 가까워지지만 1이 되지는 않으므로 최댓값이 없다. 또 \([-1, 1]\)에서 \(\tfrac{1}{x}\)는 \(x = 0\)에서 끊겨 최댓값이 없다.¹

1.4.3사잇값 정리

연필을 떼지 않고 높이 \(f(a)\)에서 \(f(b)\)까지 그래프를 그리면, 그 사이의 모든 높이를 적어도 한 번은 지나야 한다. 그림 1에서 목표 높이 \(k\)를 \(f(a)\)와 \(f(b)\) 사이에서 움직여 보면, 가로선과 그래프가 만나는 점이 언제나 하나 이상 있다.

특히 \(f(a)\)와 \(f(b)\)의 부호가 다르면 \(k = 0\)을 고를 수 있으므로, 방정식 \(f(x) = 0\)의 실근이 \((a, b)\)에 적어도 하나 있다. 이 정리는 근이 '어디에' 있는지 범위를 알려 주지만, 근이 몇 개인지나 정확히 얼마인지는 알려 주지 않는다.

1.4.4예제 풀이

\(f(x) = x^3 + x - 3\)은 다항함수라 \([1, 2]\)에서 연속이다. \(f(1) = -1 < 0\), \(f(2) = 7 > 0\)이므로 사잇값 정리에 따라 \(f(c) = 0\)인 \(c\)가 \((1, 2)\)에 적어도 하나 있다.

가운데 1.5에서 \(f(1.5) = 3.375 + 1.5 - 3 = 1.875 > 0\)이다. 부호가 바뀌는 곳은 1과 1.5 사이이므로 근은 \((1, 1.5)\)에 있다. 다시 가운데 1.25에서 \(f(1.25) = 1.953 + 1.25 - 3 \approx 0.203 > 0\)이므로 근은 \((1, 1.25)\)에 있다.

이렇게 두 번 만에 근의 범위가 길이 0.25로 좁혀졌다. 실제 근은 약 1.213이다. 이 방법을 계속하면 원하는 만큼 정확한 근의 근삿값을 얻을 수 있고, 계산기와 컴퓨터도 같은 원리를 쓴다. 아래 탐구 카드에서 최댓값이 있는 구간과 없는 구간, 근이 있는 구간을 직접 찾아보자.

1. 두 정리는 실수가 '빈틈없이' 이어져 있다는 성질(실수의 완비성)에 기대고 있다. 유리수만으로 된 수직선에서는 \(x^2 - 2 = 0\)의 근 \(\sqrt{2}\)가 빠져 사잇값 정리가 성립하지 않는다.