연립일차부등식

부등식은 등식과 거의 같은 방법으로 풀지만, 음수를 곱하거나 나눌 때 부등호의 방향이 바뀝니다. 이 절에서는 그 이유를 그래프로 확인하고, 부등식 두 개를 함께 만족하는 범위를 수직선 위의 공통부분으로 찾습니다. 해가 한 점이거나 아예 없는 경우도 살펴봅니다.

먼저 알면 좋은 것 부등식의 성질 일차부등식수직선

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연립일차부등식

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한 개에 800원인 과자와 한 개에 1,200원인 음료를 합쳐 10개 사려고 한다. 총액은 9,600원 이상 10,400원 이하로 맞추고 싶다. 음료는 몇 개를 살 수 있을까? 조건이 두 개이면 두 조건을 어떻게 함께 다룰까?

하한 \(a\) = 상한 \(b\) =

그림 1. 연립부등식의 해는 각 부등식의 해를 수직선 위에 겹쳐 그렸을 때 두 색이 함께 칠해진 부분이다.

먼저 알아야 할 것중학교의 일차부등식 풀이와 부등식의 성질(양변에 음수를 곱하면 부등호의 방향이 바뀐다), 수직선 위의 범위 표시.

2.9.1조건마다 부등식 하나

음료를 \(x\)개 사면 과자는 \(10 - x\)개이므로 총액은 \(800(10 - x) + 1200x = 8000 + 400x\)원이다. 총액이 9,600원 이상이어야 하므로 \(8000 + 400x \ge 9600\)이고, 10,400원 이하여야 하므로 \(8000 + 400x \le 10400\)이다. 즉 조건 두 개가 부등식 두 개가 되었다.

첫째 부등식을 풀면 \(400x \ge 1600\), 곧 \(x \ge 4\)이다. 둘째 부등식을 풀면 \(400x \le 2400\), 곧 \(x \le 6\)이다. 두 조건을 모두 만족해야 하므로 \(x\)는 4 이상이면서 동시에 6 이하여야 한다. 따라서 \(4 \le x \le 6\)이고, 음료는 4개, 5개, 6개를 살 수 있다.

2.9.2공통부분이 해이다

정의 2.9.1 연립부등식

두 개 이상의 부등식을 한 쌍으로 묶어 나타낸 것을 연립부등식이라 하고, 각 부등식이 모두 일차부등식이면 연립일차부등식이라 한다. 각 부등식을 동시에 만족하는 \(x\)의 값 또는 범위를 연립부등식의 해라 한다.

정의에서 '동시에'가 뜻하는 것은 각 부등식의 해의 공통부분이다. 그림 1에서 위쪽 띠는 \(x \ge a\), 아래쪽 띠는 \(x \le b\)의 해이다. 두 띠가 겹치는 구간이 연립부등식의 해이다. 슬라이더로 \(a\)를 \(b\)보다 크게 만들면 두 띠가 겹치지 않는데, 이때 연립부등식은 해가 없다.

그림 2. \(x \ge a\)와 \(x \le b\)의 공통부분은 \(a\)와 \(b\)의 크기에 따라 구간, 한 점, 공집합이 된다.

수직선에 그릴 때 등호가 들어간 끝점은 속을 채운 점으로, 등호가 없는 끝점은 속이 빈 점으로 나타낸다.¹ 끝점 하나의 차이로 해가 '한 점'이 되기도 하고 '없음'이 되기도 하므로, 그림을 그릴 때 이 구분을 놓치면 답이 달라진다.

2.9.3\(A < B < C\)꼴의 부등식

처음 질문의 조건은 한 줄로 \(9600 \le 8000 + 400x \le 10400\)이라고 쓸 수도 있다. 이런 \(A \le B \le C\)꼴은 '\(A \le B\) 그리고 \(B \le C\)'라는 연립부등식이다. 따라서 \(\begin{cases} A \le B \\ B \le C \end{cases}\)로 나누어 푼다.

그런데 이 꼴을 \(A \le C\)와 \(B \le C\)로 나누면 틀린다. 가운데 식 \(B\)가 양쪽 조건에 모두 들어가야 하기 때문이다. 처음 질문처럼 \(x\)가 가운데에만 있으면 세 변에 같은 수를 더하거나 같은 양수로 나누어 한 번에 풀어도 된다. \(1600 \le 400x \le 2400\)에서 \(4 \le x \le 6\)이 바로 나온다.

2.9.4예제 풀이

예제 2.9.2

연립부등식 \(\begin{cases} 3x - 2 > x + 4 \\ 2(x - 1) \le x + 5 \end{cases}\)를 풀어라. 또 \(x - 1 < 2x + 3 \le 3x - 1\)을 풀어라.

첫째 부등식에서 \(2x > 6\)이므로 \(x > 3\)이다. 둘째 부등식은 \(2x - 2 \le x + 5\)이므로 \(x \le 7\)이다. 두 해를 수직선에 겹치면 3은 빈 점, 7은 채운 점이므로 해는 \(3 < x \le 7\)이다.

두 번째 문제는 \(x\)가 세 변 모두에 있으므로 한 번에 풀 수 없고, \(\begin{cases} x - 1 < 2x + 3 \\ 2x + 3 \le 3x - 1 \end{cases}\)로 나눈다. 첫째는 \(-4 < x\), 둘째는 \(4 \le x\)이다. 그러면 공통부분은 \(x \ge 4\)이다.

답이 맞는지 경계 근처의 값으로 확인해 보자. \(x = 4\)이면 \(3 < 11 \le 11\)이므로 성립하고, \(x = 3\)이면 \(2 < 9 \le 8\)에서 둘째 부등식이 깨진다. 아래 탐구 카드에서 두 부등식의 해를 수직선 위에서 직접 움직이며 공통부분이 바뀌는 모습을 확인해 보자.

부등식의 양변에 음수를 곱하거나 음수로 나누면 부등호의 방향이 바뀐다. 가령 \(-2x < 6\)을 풀면 \(x > -3\)이다. 연립부등식의 각 부등식을 풀 때도 이 규칙을 그대로 쓴다.

마무리

조건이 여러 개이면 조건마다 부등식을 세우고 각각 푼 뒤, 수직선 위에서 해들의 공통부분을 찾는다. 공통부분은 구간이 될 수도 있고, 한 점이나 공집합이 될 수도 있다. 처음 질문에서 두 조건의 공통부분은 \(4 \le x \le 6\)이므로 음료는 4개, 5개, 6개를 살 수 있다.

탐구 1

음수로 나누면 왜 부등호 방향이 바뀔까?

일차부등식 · 부등식의 성질

\(x\)의 계수 \(a\) = \(-2\)

우변 \(b\) = 4

—

나누는 수 \(a\): —
부등호 방향: —
해: —

질문\(-2x > 4\)를 풀 때 양변을 \(-2\)로 나누면 \(x > -2\)일까, \(x < -2\)일까? \(x = 0\)을 넣어 보면 어느 쪽이 맞는지 알 수 있다.
복원부등식의 양변에 같은 수를 더하거나 빼도, 양수를 곱하거나 나누어도 부등호 방향은 그대로이다. 그런데 음수를 곱하거나 나누면 방향이 바뀐다. 예를 들어 \(2 < 3\)이지만 \(-2 > -3\)이다.
설명그래서 일차부등식은 이항해서 \(ax > b\) 꼴로 정리한 뒤 \(a\)로 나누되, \(a > 0\)이면 \(x > b/a\), \(a < 0\)이면 \(x < b/a\)이다. \(a = 0\)이면 \(0 \cdot x > b\)가 되어, \(b < 0\)이면 모든 실수가 해이고 \(b \ge 0\)이면 해가 없다. 그림에서 \(ax > b\)의 해는 직선 \(y = ax\)가 수평선 \(y = b\)보다 위에 있는 \(x\)의 범위이다.
연결직선의 기울기 \(a\)가 음수이면 \(x\)가 커질수록 \(ax\)가 작아진다. 그래서 '\(b\)보다 큰' 쪽이 경계의 왼쪽이 되고, 이것이 부등호 방향이 바뀌는 까닭이다. 이 성질은 연립부등식, 절댓값 부등식, 이차부등식을 풀 때 모두 쓰인다.
적용부등호를 >로 두고 \(a\)를 양수에서 음수로 넘겨 보면 해가 경계의 오른쪽에서 왼쪽으로 옮겨 간다. \(a = 0\)에서는 \(b\)를 \(-1\), 0, 1로 바꾸며 해가 모든 실수에서 공집합으로 바뀌는 것을 확인해 보자. >와 ≥를 바꾸면 수직선의 경계 점이 빈 점과 색칠한 점으로 달라진다.
판단문자 계수로 나눌 때 가장 많이 틀린다. \(ax > b\)를 곧바로 \(x > b/a\)로 쓰면 \(a < 0\)이거나 \(a = 0\)인 경우를 놓친다. 그래서 계수의 부호를 모르면 \(a > 0\), \(a = 0\), \(a < 0\)으로 나누어 풀어야 한다.

확인조건이 달라지면

\(x\)에 대한 부등식 \(ax > 3\)의 해가 \(x < -1\)일 때, 상수 \(a\)의 값은?

탐구 2

두 부등식을 함께 만족하는 범위는 어디일까?

연립일차부등식 · 수직선의 공통부분

① \(x\)

\(p\) = 2

② \(x\)

\(q\) = 5

—

①의 해: —
②의 해: —
연립부등식의 해: —

질문\(2x - 1 > 3\)과 \(x + 4 \le 9\)를 동시에 만족하는 \(x\)는 어떤 범위일까? 두 해를 '또는'으로 합쳐야 할까, '그리고'로 겹쳐야 할까?
복원일차부등식은 이항해서 \(ax > b\) 꼴로 정리한 뒤 \(a\)로 나누어 푼다. 이때 \(a\)가 음수이면 부등호 방향이 바뀐다. 수직선에서 경계를 포함하면 색칠한 점(●), 포함하지 않으면 빈 점(○)으로 나타낸다.
설명부등식 두 개 이상을 한 쌍으로 묶은 것을 연립부등식이라 하고, 모두 일차부등식이면 연립일차부등식이라 한다. 연립부등식의 해는 각 부등식의 해의 공통부분이다. 그래서 각 부등식을 따로 푼 뒤 해를 한 수직선 위에 나타내고, 겹치는 부분을 읽는다. 예를 들어 \(2x - 1 > 3\)에서 \(x > 2\), \(x + 4 \le 9\)에서 \(x \le 5\)이므로 해는 \(2 < x \le 5\)이다.
연결\(A < B < C\) 꼴의 부등식은 \(A < B\)와 \(B < C\)를 함께 만족한다는 뜻이므로 연립부등식 {\(A < B\), \(B < C\)}로 푼다. 공통부분을 찾는 이 방법은 이차부등식이 섞인 연립부등식에서도 그대로 쓰인다.
적용다섯 예를 차례로 눌러 해가 구간, 한 점, 공집합이 되는 경우를 확인해 보자. 세 번째 예에서 첫 부등호를 ≥에서 >로 바꾸면 한 점이던 해가 사라진다. 또 두 부등호가 같은 쪽을 향할 때 공통부분을 정하는 것은 더 안쪽 경계라는 것도 볼 수 있다.
판단\(A < B < C\)를 \(A < C\)로 풀면 틀린다. \(A < C\)는 \(B\)를 거치지 않은 다른 부등식이기 때문이다. 또 공통부분이 없으면 '해가 없다'고 답해야 하며, 두 해를 이어 붙인 범위를 답으로 쓰면 안 된다.

확인조건이 달라지면

부등식 \(x - 2 < 3x + 4 \le 2x + 5\)의 해는?

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