이차부등식
본문공을 위로 던지면 \(t\)초 뒤의 높이가 \(h = -5t^2 + 20t\) m라고 하자. 공이 15 m보다 높이 있는 시간은 언제부터 언제까지일까? 부등식 \(-5t^2 + 20t > 15\)를 풀어야 하는데, 이차식에서는 부등호를 어떻게 다룰까?
2.11.1부호를 그래프로 읽기
정리하면 \(-5t^2 + 20t - 15 > 0\)이고, 양변을 \(-5\)로 나누면 부등호가 뒤집혀 \(t^2 - 4t + 3 < 0\)이다. 이차식의 값이 음수인 \(t\)를 찾는 문제가 되었다.
그림 1의 슬라이더를 \(k = 3\)에 두면 \(y = x^2 - 4x + 3\)의 그래프가 보인다. 그래프는 \(x = 1\)과 \(x = 3\)에서 \(x\)축과 만나고, 그 사이에서는 \(x\)축보다 아래에 있다. \(y\)좌표가 음수라는 것은 이차식의 값이 음수라는 뜻이므로, \(x^2 - 4x + 3 < 0\)의 해는 \(1 < x < 3\)이다. 처음 질문의 공은 1초부터 3초까지 15 m보다 높이 있다.
이렇게 이차식을 포함한 부등식 가운데 정리했을 때 \(ax^2 + bx + c > 0\)꼴이 되는 것을 이차부등식이라 한다(부등호는 \(<, \ge, \le\)도 된다). 이차방정식의 근이 \(x\)축과의 교점이었다면, 이차부등식의 해는 그래프가 \(x\)축의 위나 아래에 있는 범위이다.
2.11.2판별식에 따른 세 경우
\(a > 0\)인 이차식 \(ax^2 + bx + c\)의 그래프는 아래로 볼록하다. 판별식이 양수이면 두 근 \(\alpha < \beta\)에서 \(x\)축을 가로지르므로, 두 근 사이에서는 음수이고 바깥에서는 양수이다. 슬라이더로 \(k\)를 4로 올리면 그래프가 \(x\)축에 접하고, 그보다 올리면 \(x\)축보다 완전히 위로 떠서 음수인 곳이 사라진다.
| \(D > 0\) (두 근 \(\alpha < \beta\)) | \(D = 0\) (중근 \(\alpha\)) | \(D < 0\) | |
|---|---|---|---|
| \(ax^2 + bx + c > 0\) | \(x < \alpha\) 또는 \(x > \beta\) | \(x \ne \alpha\)인 모든 실수 | 모든 실수 |
| \(ax^2 + bx + c \ge 0\) | \(x \le \alpha\) 또는 \(x \ge \beta\) | 모든 실수 | 모든 실수 |
| \(ax^2 + bx + c < 0\) | \(\alpha < x < \beta\) | 해가 없다 | 해가 없다 |
| \(ax^2 + bx + c \le 0\) | \(\alpha \le x \le \beta\) | \(x = \alpha\) | 해가 없다 |
그런데 이 표를 외울 필요는 없다. 표의 칸마다 그림 1의 그래프를 떠올리고 '\(x\)축 위인가, 아래인가'만 물으면 된다. \(a < 0\)이면 양변에 \(-1\)을 곱해 \(a > 0\)으로 바꾸어 생각한다.1
2.11.3예제 풀이
모든 실수 \(x\)에 대하여 \(x^2 - 2kx + 2k + 3 > 0\)이 성립하도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하여라. 또 연립부등식 \(\begin{cases} x^2 - x - 6 \le 0 \\ x^2 - 4x > 0 \end{cases}\)을 풀어라.
최고차항 계수가 양수이므로, 모든 \(x\)에서 양수이려면 그래프가 \(x\)축보다 완전히 위에 있어야 한다. 즉 \(x\)축과 만나지 않아야 하므로 \(\dfrac{D}{4} = k^2 - (2k + 3) < 0\)이다. \(k^2 - 2k - 3 = (k + 1)(k - 3) < 0\)이므로 \(-1 < k < 3\)이다. 접하는 경우(\(D = 0\))에는 접점에서 값이 0이 되어 '\(> 0\)'이 깨지므로 등호는 들어가지 않는다.
이제 연립부등식은 각각 푼다. \(x^2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3) \le 0\)에서 \(-2 \le x \le 3\)이다. \(x^2 - 4x = x(x - 4) > 0\)에서 \(x < 0\) 또는 \(x > 4\)이다. 따라서 두 해를 수직선에 겹치면 공통부분은 \(-2 \le x < 0\)이다.
그러면 값 하나로 확인해 보자. \(x = -1\)이면 \(1 + 1 - 6 = -4 \le 0\)이고 \(1 + 4 = 5 > 0\)이므로 두 부등식을 모두 만족한다. \(x = 1\)이면 둘째 부등식이 \(-3 > 0\)으로 깨진다. 아래 탐구 카드에서 그래프를 위아래로 움직이며 해의 범위가 넓어지고 줄어드는 모습을 직접 보자.
- \(a < 0\)인 채로 생각해도 된다. 그래프가 위로 볼록하므로 두 근 사이에서 양수, 바깥에서 음수가 되어 표의 부호가 서로 바뀐다.
이차부등식은 이차함수의 그래프가 \(x\)축의 위에 있는지 아래에 있는지를 묻는 문제이다. 경계는 이차방정식의 실근이고, 판별식이 경계의 개수를 정한다. 처음 질문의 \(t^2 - 4t + 3 < 0\)은 그래프가 \(x\)축 아래에 있는 \(1 < t < 3\)이 해이므로, 공은 1초부터 3초까지 15 m보다 높이 있다.