이상적분

로켓을 지구에서 무한히 먼 곳까지 보내려면 지구의 중력을 이기며 끝없이 일을 해야 할 것 같다. 그런데 중력은 거리의 제곱에 반비례해 멀어질수록 빠르게 약해진다. 지표에서 1 kg을 무한히 멀리 옮기는 데 드는 일은 \(\int_R^\infty\dfrac{GM}{r^2}\,dr\)인데, 적분 구간이 끝없이 길다. 이런 적분의 값은 유한할 수 있을까? 유한하다면 로켓은 초속 몇 km로 쏘아 올려야 지구로 돌아오지 않을까?

1.5.1극한으로 정의하는 적분

정적분은 닫힌 구간에서 정의되므로, 구간이 끝없이 길거나 피적분함수가 구간 안에서 끝없이 커지면 그대로 계산할 수 없다. 그래서 먼저 유한한 구간 \([a, b]\)에서 적분한 뒤 \(b\)를 무한대로 보내는 극한을 생각한다. 그 극한이 하나의 값이면 이상적분이 수렴한다고 하고, 그렇지 않으면 발산한다고 한다. 예를 들어 \(\int_1^b\dfrac{dx}{x^2} = 1 - \dfrac1b\)는 \(b \to \infty\)일 때 1로 모이므로, 끝없이 뻗은 곡선 아래의 넓이가 1이다.

\(1/x\)과 \(1/x^2\)은 둘 다 0으로 줄지만, \(1/x\)은 너무 느리게 줄어 넓이가 \(\ln b\)처럼 끝없이 커진다. 반대로 구간 \((0, 1]\)에서는 \(1/\sqrt x\)의 넓이가 2로 유한하고 \(1/x^2\)은 발산한다. 그래서 무한대 쪽에서는 빨리 줄어야, 0 쪽에서는 천천히 커져야 넓이가 유한하다. 구간 안에 끝없이 커지는 점이 있는데 그대로 기본정리를 쓰면, \(\int_{-1}^{1}\dfrac{dx}{x^2} = \left[-\dfrac1x\right]_{-1}^{1} = -2\)처럼 양수 함수의 넓이가 음수로 나오는 틀린 답을 얻는다.¹

1.5.2중력을 벗어나는 일

지구 중심에서 거리 \(r\)인 곳에서 질량 1 kg에 작용하는 중력은 \(GM/r^2\)이다. 지표 \(r = R\)에서 무한히 먼 곳까지 옮기는 데 드는 일은 \(\int_R^\infty\dfrac{GM}{r^2}\,dr = \lim_{b\to\infty}\left[-\dfrac{GM}{r}\right]_R^b = \dfrac{GM}{R}\)으로 유한하다. 중력이 거리의 제곱에 반비례해 \(p = 2 > 1\)이기 때문이다. 그래서 처음에 이만큼의 운동 에너지를 주면, 로켓은 엔진 없이도 지구로 돌아오지 않고 영원히 멀어진다. 그 속도를 탈출 속도라 한다.

1.5.3예제 풀이

운동 에너지 \(\tfrac12v^2\)이 1 kg당 드는 일 \(GM/R\)과 같아야 하므로 \(v = \sqrt{2GM/R} = \sqrt{2\times6.26\times10^7} \approx \sqrt{1.25\times10^8} \approx 1.12\times10^4\) m/s, 곧 초속 약 11.2 km이다.

중력이 \(k/r\)이라면 드는 일은 \(\int_R^\infty\dfrac{k}{r}\,dr = \lim_{b\to\infty}k\ln\dfrac{b}{R}\)로 발산한다. 그러면 아무리 빠르게 쏘아 올려도 언젠가는 운동 에너지를 다 써서 되돌아오므로, 어떤 천체도 그 행성의 중력을 영원히 벗어날 수 없다. 그래서 중력이 거리의 제곱에 반비례한다는 사실 덕분에 우주 탐사선이 태양계 밖으로 나갈 수 있다. 즉 무한 구간의 적분도 극한으로 정의하면 유한한 값을 가질 수 있고, 그 값은 함수가 무한대 쪽에서 얼마나 빨리 0으로 줄어드는지에 달려 있다.

아래 탐구 카드에서 \(1/x^p\)의 꼬리 아래 넓이가 \(p\)에 따라 수렴하는지 확인하고, 넓이가 음수로 나온 풀이의 틀린 곳을 찾고, 탈출에 드는 일을 계산해 보자.

1. 1977년에 발사된 보이저 1호는 목성과 토성의 중력을 이용해 태양의 탈출 속도보다 빨라졌고, 2012년 태양권을 벗어나 성간 공간에 들어섰다. 지금도 엔진 없이 해마다 약 5억 km씩 멀어지고 있다.