넓이

\(\displaystyle\int_{-1}^{1} x^3\,dx = 0\)이다. 그런데 \(y = x^3\)의 그래프와 \(x\)축 사이에는 분명히 넓이가 있는 도형이 두 개 보인다. 정적분과 넓이는 어떻게 다르고, 두 곡선 사이의 넓이는 어떻게 구할까?

직선 \(y = x + k\)의 \(k\) =

3.5.1넓이는 언제나 양수

정적분은 \(x\)축 위쪽의 넓이를 더하고 아래쪽의 넓이를 뺀 값이다. \(y = x^3\)은 \([-1, 0]\)에서 \(x\)축 아래, \([0, 1]\)에서 위에 있고 두 부분의 넓이가 같으므로 정적분이 0이 된다. 하지만 넓이는 음수가 될 수 없으므로, 실제 넓이는 \(\tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{2}\)이다.

계산할 때는 \(f(x) = 0\)인 점에서 구간을 나누고, \(x\)축 아래인 구간은 부호를 바꾸어 더한다. 그래서 넓이를 구하기 전에 그래프가 \(x\)축과 만나는 점부터 찾아야 한다.

3.5.2두 곡선 사이의 넓이

두 곡선 \(y = f(x)\), \(y = g(x)\) 사이의 도형을 세로로 가늘게 자르면, 띠 하나의 높이는 위쪽 곡선과 아래쪽 곡선의 차 \(f(x) - g(x)\)이다. 이 띠의 넓이를 모두 더한 것이 정적분이므로, 넓이는 \(\displaystyle\int_a^b \{f(x) - g(x)\}\,dx\)이다. 두 곡선이 모두 \(x\)축 아래에 있어도 차는 양수이므로 그대로 쓸 수 있다.

그림 1의 슬라이더로 직선을 위아래로 옮겨 보자. 교점의 위치가 바뀌면 적분 구간이 바뀌고, 그 사이에서 직선이 포물선보다 위에 있으므로 (직선) − (포물선)을 적분한다.¹

3.5.3예제 풀이

교점은 \(x^2 = x + 2\), 곧 \((x + 1)(x - 2) = 0\)에서 \(x = -1, 2\)이다. 그 사이에서는 직선이 위에 있으므로(가령 \(x = 0\)에서 \(2 > 0\)) 넓이는 \(\displaystyle\int_{-1}^{2}(x + 2 - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2}\)이다.

\(x = 2\)에서 \(2 + 4 - \tfrac{8}{3} = \tfrac{10}{3}\), \(x = -1\)에서 \(\tfrac{1}{2} - 2 + \tfrac{1}{3} = -\tfrac{7}{6}\)이므로 넓이는 \(\tfrac{10}{3} + \tfrac{7}{6} = \tfrac{9}{2}\)이다. 그림 1의 처음 모습이 이 도형이다.

두 번째 곡선은 \(x(x - 2) = 0\)에서 \(x = 0, 2\)이고 그 사이에서 \(x\)축 아래에 있다. 따라서 넓이는 \(\displaystyle -\int_0^2 (x^2 - 2x)\,dx = -\left[\frac{x^3}{3} - x^2\right]_0^2 = -\left(\frac{8}{3} - 4\right) = \frac{4}{3}\)이다. 부호를 바꾸지 않았다면 \(-\tfrac{4}{3}\)이라는 음수 넓이가 나왔을 것이다. 아래 탐구 카드에서 정적분과 넓이가 갈라지는 경우를 직접 비교해 보자.

1. 포물선 \(y = ax^2 + bx + c\)와 직선으로 둘러싸인 넓이는 두 교점의 \(x\)좌표를 \(\alpha\), \(\beta\)라 할 때 \(\tfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3\)이다. 위 예제에서 \(\tfrac{1}{6} \times 3^3 = \tfrac{9}{2}\)로 같다.