정적분

\(y = x^2\)의 그래프와 \(x\)축, 직선 \(x = 1\)로 둘러싸인 도형은 한쪽이 곡선이라 넓이 공식이 없다. 이 도형을 폭이 좁은 직사각형으로 잘게 나누어 넓이를 더하면 어떤 값에 가까워질까? 그 값을 정확히 정하는 방법은 무엇일까?

직사각형 개수 \(n\) =

3.3.1직사각형으로 어림하기

구간 \([0, 1]\)을 \(n\)등분하면 직사각형 하나의 폭은 \(\dfrac{1}{n}\)이다. \(k\)번째 직사각형의 높이를 오른쪽 끝 \(x = \dfrac{k}{n}\)에서의 함숫값 \(\left(\dfrac{k}{n}\right)^2\)으로 정하면, 넓이의 합은 \[S_n = \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^2 \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{(n + 1)(2n + 1)}{6n^2}\] 이다.

그림 1의 슬라이더로 \(n\)을 늘려 보자. \(n = 5\)이면 \(S_5 = 0.44\), \(n = 50\)이면 약 0.343이다. 직사각형이 곡선 위로 삐져나온 부분이 점점 작아지기 때문이다. \(n \to \infty\)이면 \(S_n \to \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)이다. 따라서 이 도형의 넓이는 \(\dfrac{1}{3}\)이다.

3.3.2정적분의 뜻

같은 방법을 일반적인 연속함수에 쓴 것이 정적분이다. 구간을 잘게 나누어 '높이 × 폭'을 모두 더하고, 나누는 개수를 한없이 늘린 극한을 취한다.

기호 \(\int\)는 합을 뜻하는 S를 길게 늘인 모양이고, \(dx\)는 폭 \(\Delta x\)가 한없이 작아진 것을 나타낸다. 즉 정적분은 '아주 가는 직사각형들의 넓이의 합'이다. \(f(x) \ge 0\)이면 곡선 아래의 넓이이고, \(f(x) < 0\)인 부분은 높이가 음수이므로 넓이에 음의 부호를 붙여 더한다.¹

3.3.3정적분의 성질

정적분은 합의 극한이므로 합의 성질이 그대로 이어진다. 상수배와 합은 따로 적분해 더할 수 있고, 구간을 둘로 나누어 적분해 더하면 원래 구간의 적분과 같다. 곧 \(\displaystyle\int_a^b f\,dx = \int_a^c f\,dx + \int_c^b f\,dx\)이다.

3.3.4예제 풀이

\([0, 2]\)를 \(n\)등분하면 폭은 \(\dfrac{2}{n}\), \(k\)번째 오른쪽 끝은 \(\dfrac{2k}{n}\)이다. 넓이의 합은 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{2k}{n} \cdot \frac{2}{n} = \frac{4}{n^2} \cdot \frac{n(n + 1)}{2} = \frac{2(n + 1)}{n}\)이다.

\(n \to \infty\)이면 \(\dfrac{2(n + 1)}{n} \to 2\)이므로 \(\displaystyle\int_0^2 x\,dx = 2\)이다.

도형으로 보면 밑변 2, 높이 2인 직각삼각형이므로 넓이는 \(\tfrac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2\)로 같다. 넓이 공식이 있는 도형에서 정적분이 그 넓이와 일치하니, 공식이 없는 곡선 도형에서도 정적분을 넓이로 믿을 수 있다. 아래 탐구 카드에서 직사각형의 개수와 높이를 잡는 위치를 바꾸며 합이 어디로 가는지 직접 확인해 보자.

1. 높이를 왼쪽 끝이나 가운데의 함숫값으로 잡아도, 연속함수이면 \(n \to \infty\)일 때 같은 극한값에 다가간다. 그래서 정적분은 높이를 잡는 위치와 상관없이 정해진다.