그래프의 개형
본문\(y = x^4 - 4x^3 + 10\)의 그래프를 그리려고 점을 많이 찍으면 시간이 오래 걸리고, 찍은 점 사이에서 무슨 일이 있는지는 여전히 모른다. 꼭 필요한 점만 골라 그래프의 대략적인 모양, 곧 개형을 그리는 방법은 무엇일까? 그리고 극댓값이 언제나 최댓값일까?
2.8.1개형을 그리는 순서
그래프의 모양을 정하는 것은 어디서 오르고 어디서 내리는가이다. 따라서 도함수 \(f'(x)\)를 구해 \(f'(x) = 0\)인 점을 찾고, 그 점들로 나뉜 구간마다 \(f'\)의 부호를 증감표에 정리한다. 극댓값, 극솟값과 함께 \(y\)절편이나 \(x\)축과의 교점처럼 계산이 쉬운 점을 몇 개 더하면 개형이 완성된다.
처음 질문의 함수는 \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)\)이다. \(f'(x) = 0\)인 점은 \(x = 0\)과 \(x = 3\)이다. \(x^2 \ge 0\)이므로 \(f'\)의 부호는 \(x - 3\)의 부호와 같아, \(x < 3\)에서 음수(단 \(x = 0\)에서 0), \(x > 3\)에서 양수이다.
따라서 \(f\)는 \(x \le 3\)에서 감소하고 \(x \ge 3\)에서 증가한다. \(x = 0\)에서는 \(f' = 0\)이지만 앞뒤 부호가 모두 음수라 잠시 평평해질 뿐 극값이 아니다. \(x = 3\)에서는 음에서 양으로 바뀌므로 극소이고, 극솟값은 \(f(3) = 81 - 108 + 10 = -17\)이다. 그림 1의 단계를 하나씩 넘기면 이 뼈대가 차례로 세워진다.1
2.8.2극값과 최댓값, 최솟값
극값은 근처에서만 가장 크거나 작은 값이고, 최댓값과 최솟값은 정해진 범위 전체에서 가장 크거나 작은 값이다. 닫힌구간에서 연속인 함수의 최댓값과 최솟값은 최대·최소 정리에 따라 반드시 있고, 그 후보는 구간 안의 극값과 양 끝값뿐이다.
닫힌구간 \([a, b]\)에서 \(f'(x) = 0\)인 점의 함숫값과 \(f(a)\), \(f(b)\)를 모두 구해 비교한다. 그 가운데 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이다.
2.8.3예제 풀이
\(f(x) = x^4 - 4x^3 + 10\)의 닫힌구간 \([-1, 4]\)에서의 최댓값과 최솟값을 구하여라.
구간 안에서 \(f'(x) = 0\)인 점은 \(x = 0\)과 \(x = 3\)이다. 후보는 \(f(-1) = 1 + 4 + 10 = 15\), \(f(0) = 10\), \(f(3) = -17\), \(f(4) = 256 - 256 + 10 = 10\)이다.
가장 큰 값은 \(f(-1) = 15\)이고, 가장 작은 값은 \(f(3) = -17\)이다. 따라서 최댓값은 15, 최솟값은 \(-17\)이다. 최댓값은 극값이 아니라 구간의 왼쪽 끝에서 나왔다.
이 함수에는 극댓값이 하나도 없다. 그래도 닫힌구간에서는 끝점 덕분에 최댓값이 존재한다. 범위가 실수 전체라면 \(x\)가 커지거나 작아질 때 \(f(x)\)가 한없이 커지므로 최댓값이 없다. 아래 탐구 카드에서 극값과 끝값을 비교하며 최댓값과 최솟값을 직접 찾아보자.
- 삼차함수 \(f(x) = ax^3 + \cdots\)의 개형은 \(f'(x) = 0\)이 서로 다른 두 실근을 가지면 봉우리와 골짜기가 하나씩 있는 모양, 그렇지 않으면 한 방향으로만 증가하거나 감소하는 모양이다.
그래프의 개형은 \(f'(x) = 0\)인 점과 그 사이 구간의 \(f'\)의 부호만으로 세울 수 있고, 증감표에 극값과 몇 개의 쉬운 점을 더하면 완성된다. 최댓값과 최솟값은 극값과 구간의 끝값을 모두 비교해 정하므로, 극댓값이 곧 최댓값인 것은 아니다. 그래서 처음 질문의 함수는 \(x = 3\)에서 극솟값 \(-17\)을 갖고, \([-1, 4]\)에서의 최댓값 15는 끝점에서 나온다.