방정식과 부등식
본문삼차방정식 \(x^3 - 3x - k = 0\)의 근은 \(k\)가 바뀔 때마다 새로 계산하기 어렵다. 그런데 \(k\)가 얼마일 때 실근이 세 개이고, 언제 하나뿐일까? 또 모든 양수 \(x\)에 대하여 \(x^3 + 2 \ge 3x\)가 성립한다는 것은 어떻게 보일까?
2.9.1방정식의 실근과 그래프의 교점
방정식 \(f(x) = k\)의 실근은 \(y = f(x)\)의 그래프와 직선 \(y = k\)의 교점의 \(x\)좌표이다. 그래서 상수 \(k\)를 한쪽으로 옮겨 놓고 \(y = f(x)\)의 개형을 그리면, 가로선을 위아래로 움직이며 교점의 개수를 셀 수 있다.
\(f(x) = x^3 - 3x\)이면 \(f'(x) = 3(x + 1)(x - 1)\)이다. 그러면 \(x = -1\)에서 극댓값 \(f(-1) = 2\), \(x = 1\)에서 극솟값 \(f(1) = -2\)를 갖는다. 그림 1의 슬라이더로 \(k\)를 바꾸어 보자. \(-2 < k < 2\)이면 가로선이 봉우리와 골짜기 사이를 지나 세 번 만나고, \(k = \pm 2\)이면 극점에서 접해 두 번, \(|k| > 2\)이면 한 번 만난다.
방정식을 \(f(x) = k\) 꼴로 정리하고 \(y = f(x)\)의 개형을 그린다. 가로선 \(y = k\)가 그래프와 만나는 점의 개수가 실근의 개수이며, 개수가 바뀌는 경계는 극댓값과 극솟값이다.
2.9.2부등식의 증명
'모든 \(x\)에 대하여 \(f(x) \ge g(x)\)'를 보이려면 \(h(x) = f(x) - g(x)\)로 두고 \(h(x) \ge 0\)을 보이면 된다. 다시 말해 \(h\)의 최솟값이 0 이상임을 보이는 문제로 바뀐다. 최솟값은 도함수로 증감표를 그려 구한다.1
2.9.3예제 풀이
\(x \ge 0\)일 때 부등식 \(x^3 + 2 \ge 3x\)가 성립함을 보여라. 또 방정식 \(2x^3 - 3x^2 - 12x - k = 0\)이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 정수 \(k\)의 개수를 구하여라.
\(h(x) = x^3 - 3x + 2\)라 하면 \(h'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x + 1)(x - 1)\)이다. \(x \ge 0\)에서 \(h'\)는 \(0 \le x < 1\)에서 음수, \(x > 1\)에서 양수이므로 \(h\)는 \(x = 1\)에서 최솟값 \(h(1) = 0\)을 갖는다. 따라서 \(x \ge 0\)이면 \(h(x) \ge 0\), 곧 \(x^3 + 2 \ge 3x\)이다. 등호는 \(x = 1\)일 때 성립한다.
두 번째 방정식은 \(2x^3 - 3x^2 - 12x = k\)로 쓴다. \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x\)는 \(f'(x) = 6(x + 1)(x - 2)\)이므로 \(x = -1\)에서 극댓값 \(f(-1) = 7\), \(x = 2\)에서 극솟값 \(f(2) = -20\)을 갖는다.
서로 다른 세 실근이려면 가로선 \(y = k\)가 극댓값과 극솟값 사이를 지나야 하므로 \(-20 < k < 7\)이다. 이 범위의 정수는 \(-19\)부터 6까지 26개이다. 근을 하나도 구하지 않고 그래프의 봉우리와 골짜기 높이만으로 답했다. 아래 탐구 카드에서 가로선을 움직이며 근의 개수가 바뀌는 순간을 직접 확인해 보자.
- 범위가 닫힌구간이 아니어도, 증감표로 \(h\)가 한 점에서 가장 작아진다는 것을 보이면 그 값이 최솟값이다. 위 예제에서는 \(x = 1\)의 왼쪽에서 감소, 오른쪽에서 증가하므로 \(x \ge 0\) 전체에서 \(h(1)\)이 가장 작다.
방정식 \(f(x) = k\)의 실근의 개수는 \(y = f(x)\)의 개형과 가로선 \(y = k\)의 교점의 개수로 세며, 개수가 바뀌는 경계는 극댓값과 극솟값이다. 부등식은 두 식의 차의 최솟값이 0 이상임을 보여 증명한다. 그래서 처음 질문의 \(x^3 - 3x - k = 0\)은 \(-2 < k < 2\)일 때 실근이 셋, \(|k| > 2\)일 때 하나이다.