증가·감소와 극대·극소
본문등산로의 높이를 함수로 나타냈을 때, 기울기가 양수인 곳은 오르막, 음수인 곳은 내리막이다. 그렇다면 \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\)의 그래프를 그리지 않고도 어디가 오르막이고 어디가 봉우리인지 알 수 있을까? 기울기가 0인 점은 언제나 봉우리나 골짜기일까?
2.7.1도함수의 부호와 증가·감소
어떤 구간의 모든 \(x\)에서 \(f'(x) > 0\)이라 하자. 그 구간의 두 점 \(x_1 < x_2\)를 잡으면 평균값 정리에 따라 \(f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1)\)인 \(c\)가 그 사이에 있다. \(f'(c) > 0\)이므로 \(f(x_2) > f(x_1)\)이다. 즉 \(f\)는 그 구간에서 증가한다.
함수 \(f(x)\)가 어떤 열린구간에서 미분가능할 때, 그 구간에서 \(f'(x) > 0\)이면 \(f(x)\)는 증가하고, \(f'(x) < 0\)이면 감소한다.
2.7.2극대와 극소
\(x = a\) 근처에서 \(f(a)\)가 가장 크면 \(f\)는 \(x = a\)에서 극대라 하고 \(f(a)\)를 극댓값이라 한다. 근처에서 가장 작으면 극소, 극솟값이라 한다. 미분가능한 함수가 극대나 극소가 되는 점에서는 접선이 수평이므로 \(f'(a) = 0\)이다.
그런데 거꾸로 \(f'(a) = 0\)이라고 극대나 극소인 것은 아니다. \(y = x^3\)은 원점에서 \(f'(0) = 0\)이지만 양쪽에서 모두 올라가므로 봉우리도 골짜기도 아니다. 극대, 극소를 가르는 것은 \(f'(a) = 0\)인 점 앞뒤에서 \(f'\)의 부호가 바뀌는가이다.
\(f'(a) = 0\)이고 \(x = a\)의 좌우에서 \(f'(x)\)의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 극대, 음에서 양으로 바뀌면 극소이다. 부호가 바뀌지 않으면 극값이 아니다.
그림 1의 점을 왼쪽에서 오른쪽으로 옮겨 보자. 아래 \(f'\)의 그래프가 \(x = 1\)에서 \(x\)축 위에서 아래로 내려가는데, 바로 그때 위의 \(f\)가 봉우리에 이른다. \(x = 3\)에서는 반대로 골짜기에 이른다.1
2.7.3예제 풀이
\(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\)의 증가와 감소를 조사하고 극댓값과 극솟값을 구하여라.
\(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)\)이므로 \(f'(x) = 0\)인 점은 \(x = 1, 3\)이다. \(f'\)는 위로 열린 포물선이므로 \(x < 1\)과 \(x > 3\)에서 양수, \(1 < x < 3\)에서 음수이다.
따라서 \(f\)는 \(x \le 1\)에서 증가하고, \(1 \le x \le 3\)에서 감소하며, \(x \ge 3\)에서 다시 증가한다. \(x = 1\)에서 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 극대이고 극댓값은 \(f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5\)이다. \(x = 3\)에서는 음에서 양으로 바뀌므로 극소이고 극솟값은 \(f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1\)이다.
그림 2의 증감표가 이 결과를 한눈에 보여 준다. 처음 질문의 '오르막'은 \(f' > 0\)인 구간, '봉우리'는 \(f'\)의 부호가 양에서 음으로 바뀌는 점이다. 아래 탐구 카드에서 점을 움직이며 기울기의 부호와 극값을 직접 확인해 보자.
- 극댓값이 극솟값보다 항상 큰 것은 아니다. 극대와 극소는 '근처에서' 가장 크거나 작다는 뜻이므로, 멀리 떨어진 극솟값이 어떤 극댓값보다 클 수도 있다.
도함수가 양수인 구간에서 함수는 증가하고 음수인 구간에서 감소하며, 이것은 평균값 정리로 보장된다. 극대와 극소는 \(f'(a) = 0\)이면서 그 좌우에서 \(f'\)의 부호가 바뀌는 점에서 생긴다. 그래서 처음 질문의 함수는 그래프를 그리지 않고도 \(x = 1\)에서 봉우리 5, \(x = 3\)에서 골짜기 1을 갖는다는 것을 알 수 있다.