속도와 가속도

자동차 속도계는 지금 이 순간의 빠르기를 보여 줍니다. 위치가 시간에 따라 어떻게 변하는지 식으로 알면, 미분 한 번으로 속도를, 한 번 더 미분해 가속도를 얻습니다. 이 절에서는 수직선 위를 움직이는 점과 위로 던진 공을 다루며, 속도의 부호로 운동 방향을 읽고 속도가 0이 되는 순간을 찾습니다.

먼저 알면 좋은 것 순간변화율 도함수 증가와 감소

본문

속도와 가속도

본문

수직선 위를 움직이는 점의 \(t\)초 후 위치가 \(x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t\)이다. 이 점은 언제 앞으로 가고 언제 뒤로 가며, 언제 방향을 바꿀까? 위치의 식만 있을 때 빠르기와 그 빠르기의 변화를 어떻게 읽어 낼까?

시각 \(t\) (초) =

그림 1. 위치 그래프의 접선의 기울기가 속도이다. 속도가 0이 되는 \(t = 1\)과 \(t = 3\)에서 점이 방향을 바꾼다.

먼저 알아야 할 것순간변화율(미분계수), 도함수(다항함수의 도함수), 증가와 감소(증가·감소와 극대·극소).

2.10.1속도는 위치의 순간변화율

시각 \(t\)에서 \(t + h\)까지 점이 움직인 양은 \(x(t + h) - x(t)\)이고, 그동안의 평균 속도는 이것을 \(h\)로 나눈 값이다. \(h \to 0\)이면 순간의 속도가 된다. 즉 속도는 위치의 도함수이다.

정의 2.10.1 속도와 가속도

수직선 위를 움직이는 점의 시각 \(t\)에서의 위치를 \(x(t)\)라 할 때, 속도는 \(v(t) = x'(t)\), 가속도는 \(a(t) = v'(t)\)이다. 속도의 절댓값 \(|v(t)|\)를 속력이라 한다.

속도에는 부호가 있다. \(v > 0\)이면 위치가 커지는 쪽, 곧 수직선의 양의 방향으로 가고, \(v < 0\)이면 반대로 간다. 따라서 점이 방향을 바꾸는 순간은 속도의 부호가 바뀌는 순간이고, 그때 \(v = 0\)이다. 위치 그래프에서는 극대와 극소가 생기는 점이다.

2.10.2처음 질문 읽기

\(x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t\)이면 \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3)\)이다. \(0 \le t < 1\)에서 \(v > 0\)이므로 앞으로 가고, \(1 < t < 3\)에서 \(v < 0\)이므로 뒤로 가며, \(t > 3\)에서 다시 앞으로 간다. 방향을 바꾸는 시각은 \(t = 1\)과 \(t = 3\)이다.

그림 1의 슬라이더로 시각을 흘려 보자. 점은 1초에 위치 4까지 갔다가 되돌아와 3초에 원점에 오고, 다시 앞으로 나아간다. 아래의 위치 그래프에서 봉우리와 골짜기가 바로 방향을 바꾸는 순간이다.¹

그림 2. 위치를 미분하면 속도, 속도를 미분하면 가속도이다.

2.10.3예제 풀이

예제 2.10.2

지면에서 공을 초속 20 m로 똑바로 위로 던지면 \(t\)초 후 높이는 \(h(t) = 20t - 5t^2\) m이다. 공이 가장 높이 올라가는 시각과 높이, 땅에 떨어질 때의 속도, 그리고 가속도를 구하여라.

속도는 \(v(t) = h'(t) = 20 - 10t\)이다. 가장 높은 곳에서는 공이 올라가다 내려오기 시작하므로 \(v = 0\), 곧 \(t = 2\)초이다. 그때 높이는 \(h(2) = 40 - 20 = 20\) m이다.

땅에 떨어지는 시각은 \(h(t) = 0\)에서 \(t(20 - 5t) = 0\), 곧 \(t = 4\)초이다. 그때 속도는 \(v(4) = 20 - 40 = -20\) m/s이다. 음수는 아래로 움직인다는 뜻이고, 속력은 던질 때와 같은 20 m/s이다.

가속도는 \(a(t) = v'(t) = -10\) m/s²로 언제나 일정하다. 이것은 중력 가속도(약 9.8 m/s²)를 10으로 어림한 값이며, 공이 올라갈 때나 내려올 때나 아래쪽으로 같은 가속도를 받는다는 뜻이다. 아래 탐구 카드에서 시각을 바꾸며 점이 방향을 바꾸는 순간과 공의 높이를 직접 확인해 보자.

0초부터 4초까지 점의 위치 변화는 \(x(4) - x(0) = 4\)이지만, 실제로 움직인 거리는 \(4 + 4 + 4 = 12\)이다. 방향을 바꾸는 운동에서는 위치의 변화와 움직인 거리가 다르며, 이는 적분 단원의 '속도와 거리'에서 다시 다룬다.

마무리

속도는 위치의 도함수이고 가속도는 속도의 도함수이다. 속도의 부호는 움직이는 방향을, 절댓값은 속력을 나타내며, 속도가 0이 되며 부호가 바뀌는 순간 방향이 바뀐다. 그래서 처음 질문의 점은 \(v = 3(t - 1)(t - 3)\)에서 1초와 3초에 방향을 바꾼다.

탐구 1

점은 언제 방향을 바꿀까?

속도와 가속도 · 수직선 위의 운동

시각 \(t\) = 0

위치 \(x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t\ (0 \le t \le 5)\)

위치 \(x\): —
속도 \(v = x'\): —
가속도 \(a = v'\): —

수직선 위 화살표는 속도(초록은 양의 방향, 붉은색은 음의 방향)이다. 아래 그래프의 접선 기울기와 견주어 보자.

질문수직선 위를 움직이는 점 \(P\)의 위치가 \(x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t\)이다. \(P\)는 언제 오른쪽으로 가고, 언제 되돌아올까?
복원시간 \(\Delta t\) 동안의 평균 속도는 \(\frac{\Delta x}{\Delta t}\), 곧 위치의 평균변화율이다. 그리고 \(\Delta t \to 0\)일 때의 극한이 순간변화율, 곧 미분계수이다.
설명시각 \(t\)에서의 속도는 \(v = \frac{dx}{dt} = x'(t)\)이고, 가속도는 속도의 순간변화율 \(a = \frac{dv}{dt} = v'(t)\)이다. 이 점에서는 \(v = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3), a = 6t - 12\)이다. 그런데 속도의 부호가 곧 운동 방향이다. \(v > 0\)이면 양의 방향, \(v < 0\)이면 음의 방향으로 움직이므로, 속도의 부호가 바뀌는 순간 운동 방향이 바뀐다. 여기서는 \(t = 1, t = 3\)이다. 그리고 속력은 속도의 크기 \(|v|\)이다.
연결위치 그래프에서 속도는 접선의 기울기이고, 방향이 바뀌는 순간은 위치 그래프의 극대와 극소이다. 즉 증가와 감소의 판정이 그대로 운동의 판정이 된다. 거꾸로 속도에서 위치나 움직인 거리를 구하는 일은 적분 단원에서 다룬다.
적용재생하거나 \(t\)를 움직여 \(P\)가 되돌아오는 두 순간에 속도 수치가 0인지 확인해 보자. \(t = 2\)에서 가속도는 0인데 \(P\)가 멈추는지 보고, \(1 < t < 2\)와 \(2 < t < 3\)에서 속력이 각각 커지는지 작아지는지도 비교해 보자.
판단"가속도가 0이면 멈춘다"는 틀린 말이다. 멈춘 순간은 속도가 0인 순간이고, \(t = 2\)에서 \(P\)는 가속도 0, 속도 \(-3\)으로 움직이는 중이다. 또 가속도가 음수라고 늘 느려지는 것도 아니다. 속도와 가속도의 부호가 같으면 속력이 커지고, 다르면 작아진다. 이 카드는 직선 위의 운동만 다룬다.

확인조건이 달라지면

수직선 위를 움직이는 점의 위치가 \(x(t) = -t^3 + 6t^2\ (t > 0)\)일 때, 운동 방향이 바뀌는 순간의 가속도는?

탐구 2

위로 던진 공은 언제 가장 높이 올라갈까?

속도와 가속도 · 연직 운동

처음 속도 \(v_0\) = 19.6 m/s

시각 \(t\) = 1 \(s\)

높이 \(h\) (m): —
속도 \(v\) (m/s): —
가속도 (m/s²): −9.8
최고점 (시각, 높이): —

지면에서 위로 던진 공의 모형이다. 공기 저항은 무시하고 중력 가속도는 9.8 m/s²로 두며, 공이 땅에 닿은 뒤는 그리지 않는다.

질문공을 초속 19.6 m로 똑바로 위로 던지면 몇 초 뒤에 가장 높이 올라가고, 그 높이는 얼마일까?
복원위치를 시간에 대해 미분하면 속도, 속도를 미분하면 가속도이다. 그리고 위로 올라가는 동안 속도는 양수이고, 내려올 때는 음수이다.
설명공기 저항을 무시하면 지면에서 \(t\)초 뒤의 높이는 \(h(t) = v_0t - 4.9t^2\) (m)이다. 미분하면 속도는 \(v(t) = v_0 - 9.8t\)이고, 가속도는 \(a = -9.8\)로 늘 일정하다. 그런데 가장 높은 곳에서는 올라가던 공이 내려오기 시작하므로 속도가 0이다. \(v_0 - 9.8t = 0\)에서 \(t = \frac{v_0}{9.8}\)이고, \(v_0 = 19.6\)이면 2초 뒤, 높이 \(h(2) = 39.2 - 19.6 = 19.6\) m이다. 땅에 다시 닿는 것은 \(h(t) = 0\)인 4초 뒤이다.
연결즉 가장 높은 곳을 찾는 일은 \(h(t)\)의 극대를 찾는 일과 같고, 높이 그래프의 접선이 수평인 순간이 속도 0인 순간이다. 이렇게 미분은 위치만 알려 주는 식에서 속도, 멈추는 시각, 최고 높이를 계산하게 해 준다.
적용\(t\)를 움직이며 접선 기울기와 속도 수치가 같은지 확인하고, 최고점에서 속도와 가속도가 각각 얼마인지 보자. 그리고 \(v_0\)을 두 배로 하면 최고점에 이르는 시간과 최고 높이가 각각 몇 배가 되는지도 비교해 보자.
판단"최고점에서는 공이 멈췄으니 가속도도 0"이라는 생각은 틀린다. 최고점에서도 가속도는 \(-9.8\) m/s²이라 속도가 계속 줄어 음수가 된다. 또 이 식은 공기 저항을 무시한 모형이므로, 가볍거나 빠른 물체에서는 실제 높이가 더 낮다. 이 카드는 연직선 위의 운동, 곧 직선 운동만 다룬다.

확인조건이 달라지면

높이 4.9 m인 곳에서 공을 초속 9.8 m로 똑바로 위로 던졌다. \(t\)초 뒤의 높이가 \(h(t) = 4.9 + 9.8t - 4.9t^2\) (m)일 때, 공의 최고 높이는?

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