평균값 정리
본문고속 도로의 두 단속 카메라 사이 10 km를 6분에 지나간 자동차가 있다. 평균 속력은 시속 100 km이다. 운전자가 "나는 한 번도 시속 100 km를 넘지 않았다"고 주장하면 맞을 수 있을까? 적어도 한 순간은 계기판이 정확히 시속 100 km를 가리켰다고 말할 수 있을까?
2.6.1롤의 정리
공을 던졌다가 같은 높이에서 받으면, 공은 올라갔다 내려오므로 꼭대기에서 한순간 연직 방향의 속도가 0이 된다. 이것을 일반화한 것이 롤의 정리이다. 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a, b)\)에서 미분가능한 함수가 \(f(a) = f(b)\)이면, 그 사이에 \(f'(c) = 0\)인 점 \(c\)가 있다.
까닭은 이렇다. 최대·최소 정리에 따라 \(f\)는 \([a, b]\)에서 최댓값과 최솟값을 갖는다. 둘이 모두 끝점에서 나오면 \(f\)는 상수함수라 모든 곳에서 \(f' = 0\)이다. 그렇지 않으면 최댓값이나 최솟값이 구간 안의 \(c\)에서 나오고, 그 점에서 그래프가 봉우리나 골짜기를 이루므로 접선이 수평, 곧 \(f'(c) = 0\)이다.1
2.6.2평균값 정리
양 끝 높이가 다르면 어떨까? 그래프를 할선 쪽으로 기울여 보면 양 끝이 같은 높이가 되어 롤의 정리를 쓸 수 있다. 그러면 기울인 그래프에서 수평인 접선, 곧 원래 그래프에서는 할선과 평행한 접선이 생긴다.
함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a, b)\)에서 미분가능하면 \[\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)\] 인 \(c\)가 열린구간 \((a, b)\)에 적어도 하나 있다.
그림 1의 슬라이더로 \(c\)를 움직여 보자. 접선의 기울기가 할선의 기울기와 같아지는 곳에서 두 직선이 평행해진다. 이 점은 구간 안 어딘가에 반드시 있다. 정리는 그런 \(c\)가 '있다'는 것만 알려 주고, 어디인지는 식을 풀어야 안다.
2.6.3예제 풀이
\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\)에 대하여 닫힌구간 \([0, 4]\)에서 평균값 정리를 만족하는 \(c\)를 구하여라. 또 처음 질문의 운전자 주장을 판단하여라.
평균변화율은 \(\dfrac{f(4) - f(0)}{4} = \dfrac{64 - 48 + 8}{4} = 6\)이다. \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)이므로 \(3c^2 - 6c + 2 = 6\), 곧 \(3c^2 - 6c - 4 = 0\)이다. 근의 공식으로 \(c = 1 \pm \dfrac{\sqrt{21}}{3}\)이고, \((0, 4)\) 안에 있는 것은 \(c = 1 + \dfrac{\sqrt{21}}{3} \approx 2.53\)이다.
자동차의 위치를 시간의 함수로 보면 끊김 없이, 매끄럽게 변하므로 평균값 정리를 쓸 수 있다. 6분 동안 10 km를 갔으니 평균 속력은 시속 100 km이고, 따라서 그 사이 어느 순간의 속력은 정확히 시속 100 km이다.
그러면 "한 번도 100 km를 넘지 않았다"는 주장은 가능할까? 속력이 늘 100 이하이면서 평균이 100이 되려면 처음부터 끝까지 정확히 100이어야 한다. 조금이라도 느린 순간이 있었다면 다른 순간에는 100을 넘었어야 한다. 구간 단속 카메라가 기대는 원리가 바로 이것이다. 아래 탐구 카드에서 할선과 평행한 접선을 직접 찾아보자.
- 구간 안의 점에서 최댓값을 가지면 그 점의 미분계수가 0인 까닭은, 왼쪽에서 다가갈 때 평균변화율이 0 이상이고 오른쪽에서는 0 이하여서 둘이 같아야 하는 극한값이 0일 수밖에 없기 때문이다.
닫힌구간에서 연속이고 그 안에서 미분가능한 함수는, 양 끝을 잇는 할선의 기울기와 같은 순간변화율을 갖는 점을 구간 안에 반드시 가진다. 양 끝 높이가 같은 특별한 경우가 롤의 정리이다. 그래서 처음 질문의 자동차는 두 카메라 사이 어느 순간 정확히 시속 100 km로 달렸고, 내내 100 이하였다는 주장은 일정한 속력이 아니라면 성립하지 않는다.