미분가능성과 연속성
본문\(y = |x|\)의 그래프는 원점에서 끊기지 않고 이어진 V자 모양이다. 그런데 원점에서 접선은 무엇일까? 왼쪽에서 보면 기울기가 \(-1\), 오른쪽에서 보면 1이다. 이어져 있다는 것과 매끄럽다는 것은 어떻게 다를까?
2.2.1왼쪽 기울기와 오른쪽 기울기
미분계수 \(\displaystyle f'(a) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a + h) - f(a)}{h}\)도 극한이므로, 좌극한과 우극한이 같아야 존재한다. \(f(x) = |x|\)에서 \(a = 0\)이면 \(\dfrac{|h|}{h}\)인데, \(h > 0\)이면 1, \(h < 0\)이면 \(-1\)이다. 두 값이 다르므로 극한이 없고, \(|x|\)는 \(x = 0\)에서 미분가능하지 않다.
그림 1의 슬라이더로 확대해 보자. 매끄러운 곡선은 확대할수록 한 직선처럼 보이지만, \(|x|\)는 몇 배를 확대해도 같은 V자가 그대로이다. 즉 미분가능하다는 것은 '충분히 확대하면 직선으로 보인다'는 뜻이고, 꺾인 점에서는 그 직선을 하나로 정할 수 없다.
2.2.2미분가능하면 연속이다
반대 방향은 언제나 성립한다. \(f\)가 \(x = a\)에서 미분가능하면 \(f(a + h) - f(a) = \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h} \times h\)이고, \(h \to 0\)일 때 오른쪽은 \(f'(a) \times 0 = 0\)이다. 따라서 \(\displaystyle\lim_{h \to 0} f(a + h) = f(a)\)이므로 \(f\)는 \(x = a\)에서 연속이다.
함수 \(f(x)\)가 \(x = a\)에서 미분가능하면 \(x = a\)에서 연속이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.
역의 반례가 바로 \(|x|\)이다. 원점에서 연속이지만 미분가능하지 않다. 그림 2처럼 연속이 아니면 미분가능할 수 없고, 연속이어도 꺾이거나 세로로 솟으면 미분가능하지 않다.1
2.2.3예제 풀이
함수 \(f(x) = \begin{cases} x^2 + a & (x < 1) \\ bx + 1 & (x \ge 1) \end{cases}\)이 \(x = 1\)에서 미분가능하도록 상수 \(a\), \(b\)를 정하여라.
미분가능하려면 먼저 연속이어야 한다. 좌극한 \(1 + a\)와 함숫값 \(b + 1\)이 같아야 하므로 \(a = b\)이다.
다음으로 왼쪽과 오른쪽의 기울기가 같아야 한다. 왼쪽 식 \(x^2 + a\)의 \(x = 1\)에서의 미분계수는 \(\displaystyle\lim_{h \to 0-}\frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = 2\)이고, 오른쪽 직선의 기울기는 \(b\)이다. 따라서 \(b = 2\)이고, \(a = 2\)이다.
이때 \(f\)는 \(x < 1\)에서 포물선 \(x^2 + 2\), \(x \ge 1\)에서 직선 \(2x + 1\)이고, 직선은 점 \((1, 3)\)에서 포물선의 접선이 된다. 높이만 맞추면 연속이고, 기울기까지 맞추어야 매끄럽게 이어진다. 아래 탐구 카드에서 두 식을 이어 붙이며 높이와 기울기를 차례로 맞추어 보자.
- \(y = \sqrt[3]{x}\)는 원점에서 연속이지만, 접선이 세로선이 되어 기울기가 한없이 커지므로 미분가능하지 않다.
미분가능하려면 왼쪽과 오른쪽에서 잰 순간변화율이 같아야 하며, 미분가능한 함수는 반드시 연속이다. 그러나 연속이어도 꺾인 점에서는 기울기가 하나로 정해지지 않아 미분가능하지 않다. 그래서 처음 질문의 \(y = |x|\)는 원점에서 이어져 있지만 접선을 그을 수 없다.