접선의 방정식

미분계수 \(f'(a)\)는 점 \((a, f(a))\)에서 그은 접선의 기울기입니다. 직선은 기울기와 지나는 한 점만 알면 정해지므로, 미분할 수 있으면 접선의 방정식을 바로 쓸 수 있습니다. 이 절에서는 접점을 알 때, 기울기를 알 때, 곡선 밖의 한 점을 지날 때로 나누어 접선을 구합니다. 세 경우 모두 열쇠는 접점의 좌표를 정하는 것입니다.

먼저 알면 좋은 것 미분계수의 기하적 의미 다항함수의 도함수 직선의 방정식 이차방정식의 판별식

본문

접선의 방정식

본문

곡선 \(y = x^3 - 3x\) 위의 점 \((2, 2)\)에서 곡선에 접하는 직선의 식은 무엇일까? 또 곡선 밖의 점 \((0, 2)\)에서 이 곡선에 접선을 그으면 몇 개나 그을 수 있을까? 접점을 모를 때는 어디서부터 시작해야 할까?

접점의 \(x\)좌표 \(t\) =

그림 1. 접점 \((t, f(t))\)를 지나고 기울기가 \(f'(t)\)인 직선이 접선이다. 접점을 움직이면 접선이 곡선을 따라 돈다.

먼저 알아야 할 것미분계수의 기하적 의미(미분계수), 다항함수의 도함수(다항함수의 도함수), 한 점과 기울기로 직선의 방정식 세우기, 인수분해.

2.5.1접점을 알 때

미분계수 \(f'(a)\)는 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((a, f(a))\)에서의 접선의 기울기이다. 한 점과 기울기를 알면 직선은 하나로 정해지므로, 접선의 방정식은 다음과 같이 바로 쓸 수 있다.

정리 2.5.1 접선의 방정식

곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((a, f(a))\)에서의 접선의 방정식은 \[y - f(a) = f'(a)(x - a)\]

처음 질문의 곡선은 \(f'(x) = 3x^2 - 3\)이므로 \(f'(2) = 9\)이다. 따라서 점 \((2, 2)\)에서의 접선은 \(y - 2 = 9(x - 2)\), 곧 \(y = 9x - 16\)이다. 그림 1의 처음 모습이 이 직선이다.

2.5.2기울기를 알 때, 곡선 밖의 점을 알 때

기울기 \(m\)만 주어지면 \(f'(t) = m\)을 풀어 접점의 \(x\)좌표 \(t\)를 구한다. 가령 이 곡선에서 기울기가 0인 접선은 \(3t^2 - 3 = 0\), 곧 \(t = \pm 1\)에서 생기며, 접선은 \(y = -2\)와 \(y = 2\)이다.

곡선 밖의 점 \((p, q)\)를 지나는 접선은 접점을 모르므로, 접점을 \((t, f(t))\)로 두고 시작한다. 접선 \(y - f(t) = f'(t)(x - t)\)가 \((p, q)\)를 지나야 하므로 \(q - f(t) = f'(t)(p - t)\)이다. 이 \(t\)에 대한 방정식의 실근 하나하나가 접점 하나에 대응한다.¹

그림 2. 무엇을 아느냐에 따라 접점을 먼저 찾는 방법이 다르지만, 마지막에는 모두 '점과 기울기'로 직선을 쓴다.

2.5.3예제 풀이

예제 2.5.2

점 \((0, 2)\)에서 곡선 \(y = x^3 - 3x\)에 그은 접선의 방정식을 모두 구하여라.

접점을 \((t, t^3 - 3t)\)라 하면 접선은 \(y - (t^3 - 3t) = (3t^2 - 3)(x - t)\)이다. 이 직선이 \((0, 2)\)를 지나므로 \(2 - t^3 + 3t = (3t^2 - 3)(-t)\)이다. 정리하면 \(2 - t^3 + 3t = -3t^3 + 3t\), 곧 \(2t^3 = -2\)이다.

따라서 \(t^3 = -1\)이고 실근은 \(t = -1\) 하나이다. 접점은 \((-1, 2)\), 기울기는 \(f'(-1) = 0\)이므로 접선은 \(y = 2\)이다.

그림 1에서 \(t = -1\)로 옮기면 접선이 수평선 \(y = 2\)가 되고, 이 직선이 점 \((0, 2)\)를 지나는 것을 볼 수 있다. 다른 \(t\)에서는 접선이 \((0, 2)\)를 지나지 않으므로 접선은 하나뿐이다. 아래 탐구 카드에서 접점과 기울기, 바깥의 점을 바꾸며 접선의 개수를 직접 세어 보자.

삼차함수에서는 곡선 밖의 한 점을 지나는 접선이 그 점의 위치에 따라 1개, 2개, 3개가 될 수 있다. 개수는 \(t\)에 대한 삼차방정식의 실근의 개수와 같다.

마무리

접선은 접점 \((a, f(a))\)를 지나고 기울기가 \(f'(a)\)인 직선이므로 \(y - f(a) = f'(a)(x - a)\)이다. 기울기나 곡선 밖의 점이 주어지면 접점의 \(x\)좌표를 \(t\)로 두고 방정식을 풀어 접점부터 찾는다. 그래서 처음 질문의 접선은 \(y = 9x - 16\)이고, 점 \((0, 2)\)에서 그은 접선은 \(y = 2\) 하나이다.

탐구 1

곡선 위의 한 점에서 그은 접선의 방정식은?

접선의 방정식 · 접점 끌기

접점 \(P\)의 \(x\)좌표 \(a\) = 1.5

접점 \(P\): —
기울기 \(f'(a)\): —
접선이 곡선과 다시 만나는 점 \(Q\): —

—

그림을 좌우로 끌면 접점 \(P\)가 곡선을 따라 움직인다. 주황 직선이 \(P\)에서의 접선이다.

질문곡선 위의 한 점에서 곡선에 딱 맞닿는 직선을 식으로 쓰려면 무엇을 알아야 할까? 그 직선은 곡선과 그 점에서만 만날까?
복원기울기가 \(m\)이고 점 \((x_1, y_1)\)을 지나는 직선은 \(y - y_1 = m(x - x_1)\)이다. 그리고 미분계수 \(f'(a)\)는 점 \((a, f(a))\)에서의 접선의 기울기이다.
설명두 사실을 합치면 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((a, f(a))\)에서의 접선의 방정식은 \(y - f(a) = f'(a)(x - a)\)이다. 먼저 \(f'(x)\)를 구하고, 접점의 \(x\)좌표 \(a\)를 넣어 기울기 \(f'(a)\)와 \(f(a)\)를 구한 뒤 식에 대입한다. 예를 들어 \(y = x^3 - 3x\) 위의 점 (2, 2)에서는 \(y' = 3x^2 - 3\)이므로 기울기가 9이고, 접선은 \(y = 9x - 16\)이다.
연결\(f'(a) = 0\)인 점에서는 접선이 \(x\)축과 평행한 직선 \(y = f(a)\)이고, 이런 점은 그래프가 오르다가 내리거나 내리다가 오르는 곳의 후보가 된다. 또 접선의 방정식은 점 근처에서 함수를 일차식으로 어림하는 식으로도 쓰인다.
적용\(x^3 - 3x\)에서 \(P\)를 (2, 2)로 옮겨 접선의 식이 위 예와 같은지 확인해 보자. \(a = 1\)로 두면 접선이 어떤 직선이고 \(Q\)가 어디에 생기는지 보고, 여러 \(a\)에서 \(Q\)의 \(x\)좌표와 \(a\) 사이의 관계를 찾은 뒤, \(x^2\)로 바꾸면 \(Q\)가 생기는지도 보자.
판단접선은 '곡선과 한 점에서만 만나는 직선'이 아니다. 삼차함수의 접선은 보통 곡선과 다른 점 \(Q\)에서 또 만나고, 거꾸로 한 점에서만 만나도 접선이 아닐 수 있다. 또 접선의 기울기를 \(f'(x)\) 식 그대로 두면 직선이 되지 않으므로, 반드시 접점의 \(x\)좌표를 넣은 수 \(f'(a)\)를 써야 한다.

확인조건이 달라지면

곡선 \(y = x^3 - 2x + 1\) 위의 점 (1, 0)에서의 접선의 방정식은?

탐구 2

기울기가 \(m\)인 접선은 몇 개일까?

접선의 방정식 · 기울기가 주어질 때

접선의 기울기 \(m\) = 0

접선의 개수: —
접점: —

—

아래 그림에서 \(y = f'(x)\)와 가로 점선 \(y = m\)이 만나는 점의 \(x\)좌표가 위 그림의 접점이다.

질문기울기가 정해진 직선을 곡선에 맞닿게 하려면 접점을 어디에 두어야 할까? 그런 접선은 언제나 하나뿐일까?
복원점 \((t, f(t))\)에서의 접선의 기울기는 \(f'(t)\)이고, 접선의 방정식은 \(y - f(t) = f'(t)(x - t)\)이다.
설명그래서 기울기 \(m\)이 주어지면 접점의 \(x\)좌표 \(t\)는 방정식 \(f'(t) = m\)의 해이다. 해를 구해 접점 \((t, f(t))\)를 정한 뒤 \(y - f(t) = m(x - t)\)에 넣고, 해가 여러 개면 접선도 여러 개이다. 가령 \(f(x) = x^3 - 3x, m = 9\)이면 \(3t^2 - 3 = 9\)에서 \(t = \pm 2\)이고, 접선은 \(y = 9x - 16\)과 \(y = 9x + 16\)이다.
연결즉 접선의 개수는 \(y = f'(x)\)의 그래프와 직선 \(y = m\)의 교점 수와 같다. \(x^3 - 3x\)의 도함수 \(3x^2 - 3\)은 최솟값이 \(-3\)이므로, 기울기가 \(-3\)보다 작은 접선은 그을 수 없다. 어떤 직선과 평행한 접선을 구하는 문제도 그 직선의 기울기를 \(m\)으로 두면 같은 방법으로 푼다.
적용\(x^3 - 3x\)에서 \(m\)을 \(-5\)부터 올리며 접선이 0개, 1개, 2개로 바뀌는 순간을 찾고, 접선이 1개일 때 접점이 어디인지 보자. \(x^2\)에서는 \(m\)을 바꾸어도 접선이 늘 하나인지, \(x^3\)에서 접선이 없는 \(m\)의 범위는 무엇인지도 확인해 보자.
판단\(f'(t) = m\)에서 나온 해를 하나만 쓰고 멈추는 실수가 흔하다. 이차방정식이면 해가 두 개일 수 있고, 그러면 접선도 두 개이다. 또 접점의 \(y\)좌표는 \(f'(t)\)가 아니라 원래 함수의 값 \(f(t)\)이다.

확인조건이 달라지면

곡선 \(y = x^2 - 4x + 1\)에 접하고 기울기가 2인 직선의 방정식은?

탐구 3

곡선 밖의 점에서 접선을 몇 개 그을 수 있을까?

접선의 방정식 · 곡선 밖의 점

점 \(Q(p, q)\): —
판별식/\(4 = p^2 - q\): —
접선의 개수: —
접점: —

—

그림을 누르거나 끌면 점 \(Q\)가 0.5 간격으로 옮겨 간다. 주황 직선이 \(Q\)를 지나는 접선이다.

질문곡선 위에 있지 않은 점 \(Q\)에서 곡선에 접하는 직선을 그으려 한다. 접점을 모르니 앞의 공식을 바로 쓸 수 없다. 어떻게 접점을 찾을 수 있을까?
복원곡선 위의 점 \((t, f(t))\)에서의 접선은 \(y - f(t) = f'(t)(x - t)\)이다. 그리고 이차방정식 \(t^2 - 2pt + q = 0\)의 실근 개수는 판별식 \(\frac{D}{4} = p^2 - q\)의 부호로 정해진다.
설명그래서 모르는 접점을 \((t, f(t))\)로 두고 접선의 방정식을 \(t\)로 쓴다. 이 직선이 \(Q(p, q)\)를 지나야 하므로 \(Q\)의 좌표를 넣으면 \(t\)에 대한 방정식이 나온다. 가령 \(f(x) = x^2\)이면 접선은 \(y = 2tx - t^2\)이고, \(Q\)를 넣으면 \(q = 2tp - t^2\), 곧 \(t^2 - 2pt + q = 0\)이다. 이 방정식의 실근 하나하나가 접점이므로, 실근을 구해 접선의 방정식에 다시 넣는다.
연결따라서 접선의 개수는 실근의 개수이다. \(y = x^2\)에서는 \(Q\)가 포물선의 바깥쪽(아래쪽)에 있으면\((p^2 > q)\) 두 개, 포물선 위의 점이면 한 개, 포물선의 안쪽에 있으면\((p^2 < q)\) 0개이다. 삼차함수에서는 \(t\)에 대한 삼차방정식이 나오므로 접선이 세 개까지 생길 수 있다.
적용\(Q(1, -3)\)에서 두 접점과 두 접선의 방정식을 읽고, 이 카드의 확인 문제와 맞춰 보자. \(Q\)를 위로 천천히 끌어 올리며 두 접점이 어떻게 움직이는지, 접선이 하나가 되는 순간 \(Q\)가 어디에 있는지 보고, \(Q\)를 포물선 안쪽으로 옮겨 접선이 사라지는 것도 확인해 보자.
판단\(Q\)의 좌표를 접점으로 착각해 \(f'(p)\)를 기울기로 쓰면 안 된다. \(Q\)는 곡선 위에 있지 않으므로 그 점의 미분계수는 접선의 기울기가 아니다. 그래서 접점은 반드시 미지수 \(t\)로 두고 구해야 한다. 또 \(Q\)가 곡선 위에 있어도, 삼차함수라면 \(Q\)를 지나면서 다른 점에서 접하는 접선이 더 있을 수 있다.

확인조건이 달라지면

점 \((1, -3)\)에서 곡선 \(y = x^2\)에 그은 접선의 접점의 \(x\)좌표를 모두 고르면?

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