구분구적법과 정적분

곡선 \(y = x^2\)과 \(x\)축, 직선 \(x = 1\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하려 한다. 넓이 공식이 있는 도형은 직사각형, 삼각형, 원 정도인데, 이 부분은 한쪽이 휘어 있다. 구간 \([0, 1]\)을 5등분해 오른쪽 끝의 높이로 직사각형을 세우면 넓이의 합은 0.44, 10등분하면 0.385, 100등분하면 0.33835가 된다. 등분을 끝없이 늘리면 이 합은 어떤 값으로 모일까? 그 값이 곧 곡선 아래의 넓이일까?

1.6.1잘게 자르고 극한을 취하다

구간 \([0, 1]\)을 \(n\)등분하면 \(k\)번째 작은 구간의 오른쪽 끝은 \(k/n\)이고, 그곳의 높이는 \((k/n)^2\)이다. 폭 \(1/n\)인 직사각형 \(n\)개의 넓이를 더하면 \(S_n = \sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{k}{n}\right)^2\dfrac1n = \dfrac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n}k^2\)이다. 자연수의 제곱의 합 공식을 쓰면 \(S_n = \dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\)이다. \(n\)이 커지면 이 값은 \(2/6 = 1/3\)으로 모인다. 직사각형은 곡선보다 늘 조금 크지만 그 차이가 0으로 줄어들므로, 곡선 아래의 넓이는 정확히 \(1/3\)이다.

이렇게 잘게 잘라 더한 뒤 극한을 취해 넓이나 부피를 구하는 방법을 구분구적법이라 한다. 왼쪽 끝의 높이를 쓰면 직사각형이 곡선 아래에 들어가 합이 조금 작아지지만, 그 합 \(\dfrac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}\)도 \(1/3\)로 모인다. 위에서 덮는 합과 아래에서 채우는 합이 같은 값으로 모이므로, 넓이는 그 사이에 끼인 단 하나의 값이다.¹

1.6.2얇은 판을 쌓아 부피 구하기

같은 생각을 입체에 쓰면 부피를 구할 수 있다. 밑면이 한 변 \(a\)인 정사각형이고 높이가 \(h\)인 사각뿔을 꼭짓점에서 \(n\)층으로 얇게 자르면, 꼭짓점에서 \(kh/n\)인 층의 단면은 한 변이 \(ka/n\)인 정사각형이다. 각 층을 두께 \(h/n\)인 판으로 보고 더하면 \(\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{ka}{n}\right)^2\dfrac{h}{n} = a^2h\cdot\dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\)이고, 극한은 \(\tfrac13 a^2h\)이다. 그래서 뿔의 부피가 같은 밑면, 같은 높이인 기둥의 \(1/3\)인 것은 포물선 아래 넓이가 \(1/3\)인 것과 같은 계산에서 나온다.

1.6.3예제 풀이

구간 \([0, 2]\)를 \(n\)등분하면 \(\Delta x = 2/n\), \(x_k = 2k/n\)이다. 합은 \(\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{2k}{n}\right)^2\dfrac2n = \dfrac{8}{n^3}\sum_{k=1}^{n}k^2 = \dfrac{8}{n^3}\cdot\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \dfrac{4(n+1)(2n+1)}{3n^2}\)이다.

\(n \to \infty\)이면 \(\dfrac{4\times2}{3} = \dfrac83\)으로 모인다. 미적분의 기본정리로는 \(\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^2 = \dfrac83\)으로 같다. 그래서 정적분은 원래 잘게 자른 합의 극한으로 정의되고, 그 값을 부정적분으로 쉽게 계산할 수 있다는 것이 기본정리의 내용이다. 구간을 두 배로 늘리면 넓이는 \(2^3 = 8\)배가 되는데, 가로가 2배, 세로가 4배로 늘었기 때문이다. 즉 휘어진 경계의 넓이도 직사각형을 끝없이 잘게 쪼갠 합의 극한으로 정확히 구할 수 있다.

아래 탐구 카드에서 직사각형의 수를 늘려 가며 합이 하나의 값으로 모이는 것을 확인하고, 각뿔을 얇은 판으로 쌓아 부피가 기둥의 \(1/3\)이 되는 까닭을 알아보자.

1. 기원전 3세기 아르키메데스는 포물선과 직선으로 둘러싸인 넓이를 삼각형을 끝없이 채워 넣는 방법으로 구해, 같은 밑변과 높이인 삼각형의 \(4/3\)배라는 것을 보였다. 극한이라는 말이 없던 때에 이미 같은 생각을 쓴 것이다.