연속확률변수와 정규분포

동전을 100번 던져 앞면이 45번 이하로 나올 확률을 이항분포로 정확히 계산하면 0.1841이다. 이 계산은 46개의 항을 더해야 해서 번거롭다. 그래서 평균 50, 표준편차 5인 정규분포로 어림하는데, \(X \le 45\)를 그대로 표준화하면 0.1587이 나와 정확한 값과 꽤 다르다. 그런데 45 대신 45.5로 표준화하면 0.1841로 거의 정확해진다. 0.5는 어디서 왔을까? 정규분포는 이항분포를 어떻게 어림할까?

3.7.1종 모양의 밀도 곡선

사람의 키나 측정 오차처럼 작은 요인이 많이 더해져 생기는 양은 평균 근처에 많이 모이고 양쪽으로 갈수록 드물어지는 종 모양으로 분포한다. 이 모양을 나타내는 밀도 곡선이 정규분포이며, 평균 \(m\)과 표준편차 \(\sigma\)만으로 모양이 정해진다. 평균은 밀도 곡선의 무게 중심이어서, 곡선 모양의 판을 평균 자리에서 받치면 수평을 이룬다. 정규분포를 따르는 확률변수 \(X\)를 \(Z = (X - m)/\sigma\)로 바꾸면 평균 0, 표준편차 1인 표준정규분포가 되어, 표준정규분포표 하나로 모든 정규분포의 확률을 구할 수 있다.

이항분포의 막대그래프는 각 정수 \(k\)를 가운데에 두고 폭 1인 막대로 그린다. 그래서 \(X = 45\)의 막대는 44.5에서 45.5까지 걸쳐 있다. 이 막대들을 정규분포의 밀도 곡선으로 바꾸어 넓이를 잴 때 45에서 자르면 막대 45의 오른쪽 절반이 빠진다. 45.5에서 잘라야 막대 45가 통째로 들어가므로, 이산적인 값을 연속인 곡선으로 어림할 때 0.5를 더하거나 빼는 연속성 보정을 한다.¹

3.7.2표준편차를 잣대로

정규분포에서는 평균에서 표준편차의 몇 배 떨어졌는지만 알면 확률이 정해진다. 평균에서 표준편차 1배 안에 약 68%, 2배 안에 약 95%, 3배 안에 약 99.7%가 들어간다. 그래서 반 학생들의 키가 평균 170 cm, 표준편차 6 cm인 정규분포를 따른다면 158 cm에서 182 cm 사이에 약 95%의 학생이 있고, 182 cm보다 큰 학생은 약 2.3%이다. 실제 자료가 정규분포를 따르는지는 히스토그램의 모양과 이 비율을 비교해 확인한다.

3.7.3예제 풀이

\(X\)는 \(B(100, 1/2)\)이므로 평균 50, 표준편차 \(\sqrt{100\times\tfrac12\times\tfrac12} = 5\)이다. 보정하면 \(P(X \le 45) \approx P\left(Z \le \dfrac{45.5 - 50}{5}\right) = P(Z \le -0.9) = 0.5 - 0.3159 = 0.1841\)로 정확한 값과 같다.

정확히 50번은 막대 하나이므로 49.5에서 50.5까지의 넓이로 어림한다. \(P(-0.1 \le Z \le 0.1) \approx 2\times0.0398 = 0.0797\)로, 정확한 값 0.0796과 거의 같다. 보정 없이 정규분포로 \(P(X = 50)\)을 구하면 한 점의 확률이어서 0이 되어 버린다. 그래서 이산적인 이항분포를 연속인 정규분포로 어림할 때는 각 정수가 폭 1인 막대를 차지한다는 것을 기억해 0.5를 더하고 빼야 한다. 즉 \(n\)이 큰 이항분포는 평균과 표준편차가 같은 정규분포로 어림할 수 있고, 연속성 보정이 그 어림을 정확하게 만든다.

아래 탐구 카드에서 밀도 곡선의 받침점으로 평균을 찾고, 연속성 보정의 효과를 확인하고, 직접 잰 자료가 정규분포를 따르는지 살펴보자.

1. 이항분포가 정규분포로 다가간다는 것은 1733년 프랑스 출신의 수학자 드무아브르가 동전 던지기에서 처음 보였다. 정규분포는 뒤에 가우스가 천문 관측의 오차를 다루며 널리 써서 가우스 분포라고도 부른다.