기댓값과 표준편차

복권 한 장을 사면 평균 얼마를 받을까요? 확률분포를 알면 값마다 확률을 곱해 더하는 것으로 '평균적으로 기대되는 값'을 구할 수 있습니다. 이 절에서는 기댓값을 분포의 무게중심으로 보고, 값들이 평균에서 얼마나 퍼져 있는지를 분산과 표준편차로 잽니다. 단위를 바꾸거나 점수를 환산할 때 이 값들이 어떻게 변하는지도 확인합니다.

먼저 알면 좋은 것 확률변수와 확률분포 자료의 평균과 분산 \(\sum\) 기호

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기댓값과 표준편차

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한 번에 1000원을 내는 뽑기에서 5000원 상품이 10%, 1000원 상품이 30%, 꽝이 60%의 확률로 나온다. 이 뽑기를 여러 번 하면 한 번에 평균 얼마를 받게 될까? 또 받는 금액이 평균에서 얼마나 흩어지는지는 어떻게 나타낼까?

5000원의 확률(%)

그림 1. 값마다 확률만큼의 무게를 올려 둔 막대가 균형을 이루는 받침점이 기댓값이다. 무게가 받침점에서 멀리 퍼질수록 표준편차가 크다.

먼저 알아야 할 것확률변수와 확률분포(확률변수와 확률분포), 중학교의 자료의 평균과 분산, \(\sum\) 기호(대수).

3.2.1기댓값

뽑기를 100번 한다고 생각하자. 확률대로라면 5000원은 약 10번, 1000원은 약 30번, 꽝은 약 60번 나온다. 받는 돈의 합은 \(5000 \times 10 + 1000 \times 30 + 0 \times 60 = 80000\)원이고, 한 번에 평균 800원이다. 이것은 각 값에 확률을 곱해 더한 \(5000 \times 0.1 + 1000 \times 0.3 + 0 \times 0.6\)과 같다.

정의 3.2.1 기댓값, 분산, 표준편차

이산확률변수 \(X\)의 확률분포가 \(P(X = x_i) = p_i\ (i = 1, \ldots, n)\)일 때 \[E(X) = \sum x_ip_i,\quad V(X) = \sum (x_i - m)^2p_i = E(X^2) - \{E(X)\}^2,\quad \sigma(X) = \sqrt{V(X)}\] 이고, 각각 기댓값(평균) \(m\), 분산, 표준편차라 한다.

처음 질문의 기댓값은 800원으로, 내는 1000원보다 200원 적다. 그러니 이 뽑기를 오래 할수록 손해가 쌓인다. 그림 1에서 5000원의 확률을 바꾸면 받침점, 곧 기댓값이 옮겨 간다. 기댓값은 분포의 '무게중심'이다.

3.2.2분산과 표준편차

분산은 각 값이 평균에서 떨어진 거리를 제곱해 확률로 평균한 것이다. 거리를 제곱하는 것은 위로 떨어진 것과 아래로 떨어진 것이 서로 지워지지 않게 하기 위해서이고, 제곱근을 씌운 표준편차는 원래 값과 단위가 같아져 '평균에서 대략 얼마나 떨어지는가'로 읽을 수 있다.

계산할 때는 \(V(X) = E(X^2) - m^2\)이 편하다. 처음 질문에서 \(E(X^2) = 5000^2 \times 0.1 + 1000^2 \times 0.3 = 2\,800\,000\)이므로 \(V(X) = 2\,800\,000 - 800^2 = 2\,160\,000\)이고, \(\sigma(X) \approx 1470\)원이다.¹

그림 2. 평균이 같아도 확률이 평균 근처에 모여 있으면 표준편차가 작고, 멀리 퍼져 있으면 크다.

3.2.3\(aX + b\)의 평균과 표준편차

모든 값을 \(a\)배 하고 \(b\)를 더하면 무게중심도 똑같이 옮겨 가므로 \(E(aX + b) = aE(X) + b\)이다. 그런데 퍼짐은 \(b\)만큼 옮겨도 그대로이고 \(a\)배 늘리면 \(|a|\)배가 된다. 따라서 \(\sigma(aX + b) = |a|\sigma(X)\), \(V(aX + b) = a^2V(X)\)이다.

3.2.4예제 풀이

예제 3.2.2

주사위 한 개를 던져 나온 눈을 \(X\)라 할 때 \(E(X)\)와 \(\sigma(X)\)를 구하여라. 또 \(Y = 2X - 3\)의 평균과 표준편차를 구하여라.

\(E(X) = \dfrac{1 + 2 + \cdots + 6}{6} = \dfrac{21}{6} = 3.5\)이다. \(E(X^2) = \dfrac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \dfrac{91}{6}\)이므로 \(V(X) = \dfrac{91}{6} - \dfrac{49}{4} = \dfrac{182 - 147}{12} = \dfrac{35}{12}\)이고, \(\sigma(X) = \sqrt{\dfrac{35}{12}} \approx 1.71\)이다.

\(Y = 2X - 3\)의 평균은 \(2 \times 3.5 - 3 = 4\)이고, 표준편차는 \(2 \times 1.71 \approx 3.42\)이다. \(-3\)은 평균만 옮기고 퍼짐에는 영향을 주지 않는다.

주사위의 기댓값 3.5는 실제로 나올 수 없는 값이다. 기댓값은 '한 번에 나올 값'이 아니라 '많이 했을 때의 평균'이라는 것을 이 예가 보여 준다. 아래 탐구 카드에서 확률분포의 무게를 옮기며 평균과 퍼짐이 어떻게 변하는지 직접 확인해 보자.

기댓값보다 표준편차가 훨씬 크다는 것은, 한두 번 할 때 받는 금액이 평균 800원에서 크게 벗어나기 쉽다는 뜻이다. 실제로 대부분은 0원이고 가끔 5000원이 나온다.

마무리

기댓값은 값마다 확률을 곱해 더한 분포의 무게중심이고, 분산과 표준편차는 값들이 기댓값에서 얼마나 퍼져 있는지를 잰다. \(aX + b\)의 평균은 \(aE(X) + b\), 표준편차는 \(|a|\sigma(X)\)이다. 그래서 처음 질문의 뽑기는 한 번에 평균 800원을 받으므로, 1000원을 내고 오래 할수록 손해이다.

탐구 1

확률분포의 '가운데'와 '퍼짐'은 어디서 읽을까?

기댓값 · 분산 · 표준편차

\(E(X) = \sum xP\): —
\(E(X^2) = \sum x^2P\): —
\(V(X)\): —
\(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\): —

막대를 위아래로 끌어 비율을 바꾼다. 막대 위의 수가 확률이며, 모든 막대의 확률 합은 늘 1이 되도록 맞춘다.

질문값이 0부터 4까지인 두 확률변수가 있다. 어느 쪽이 '평균적으로' 더 큰 값을 내고, 어느 쪽이 더 들쑥날쑥한지 확률분포만 보고 수 하나로 말할 수 있을까?
복원자료의 평균은 \((\text{변량의 합}) \div (\text{자료 수})\)이고, 도수분포표에서는 \(\sum(\text{계급값} \times \text{도수}) \div (\text{도수의 합})\)이다. 또 분산은 편차의 제곱의 평균, 표준편차는 그 양의 제곱근이다.
설명이산확률변수 \(X\)가 \(x_1, \cdots, x_n\)을 확률 \(p_1, \cdots, p_n\)로 가질 때, 기댓값(평균)은 \(E(X) = \sum x_ip_i\)이다. 상대도수가 확률로 바뀐 평균이라고 보면 된다. 평균을 \(m\)이라 하면 분산은 \(V(X) = \sum(x_i - m)^2p_i\)이고, 전개하면 \(V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2\)이다. 그리고 표준편차는 \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\)로, \(X\)와 단위가 같다. 막대를 무게로 보면 \(E(X)\)는 시소가 수평을 이루는 받침점, 곧 무게중심이다.
연결기댓값은 게임이 공정한지, 보험료가 적절한지 판단하는 데 쓴다. 또 뒤에서 배울 이항분포와 정규분포도 평균과 표준편차 두 수로 모양이 정해진다.
적용'대칭'에서 \(x = 0\)과 \(x = 4\)의 막대만 같은 만큼 키워 보면 받침점은 그대로인데 분산이 커진다. '한쪽으로 치우침'에서는 받침점이 가장 높은 막대와 같은 곳에 있는지 보고, '한 값'에서 \(\sigma(X)\)가 얼마인지도 확인해 보자.
판단기댓값은 '가장 자주 나오는 값'이나 '실제로 나올 수 있는 값'이 아니다. 주사위 눈의 기댓값 3.5는 한 번도 나오지 않는다. 또 \(V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2\)에서 \(E(X^2)\)를 \(\{E(X)\}^2\)로 착각하면 분산이 늘 0이 되는 이상한 결과가 나온다.

확인조건이 달라지면

확률변수 \(X\)가 0, 1, 2를 각각 확률 \(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}\)로 가질 때, \(V(X)\)는?

탐구 2

점수를 두 배 하고 5점을 빼면 표준편차는?

\(E(aX + b) \cdot \sigma(aX + b)\)

곱하는 수 \(a\) = 2 더하는 수 \(b\) = \(-5\)

\(E(Y)\): —
\(aE(X) + b\): —
\(\sigma(Y)\): —
\(|a|\sigma(X)\): —

\(X\)는 주사위 한 개의 눈으로 \(E(X) = 3.5\), \(V(X) = \frac{35}{12}\), \(\sigma(X) \approx 1.708\)이다. \(E(Y)\)와 \(\sigma(Y)\)는 \(Y\)의 여섯 값으로 직접 계산한 값이다.

질문시험 점수를 모두 2배로 하고 5점을 빼서 환산하면 평균은 쉽게 짐작된다. 그러면 점수가 흩어진 정도, 곧 표준편차도 2배에서 5를 뺀 값이 될까?
복원\(E(X) = \sum x_ip_i\), \(V(X) = \sum(x_i - m)^2p_i\), \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\)이다. 그리고 확률의 합 \(\sum p_i\)는 1이다.
설명\(Y = aX + b\)는 \(X\)의 값마다 \(ax_i + b\)를 같은 확률 \(p_i\)로 갖는다. 그래서 \(E(Y) = \sum(ax_i + b)p_i = a\sum x_ip_i + b\sum p_i = aE(X) + b\)이다. 그런데 편차는 \((ax_i + b) - (am + b) = a(x_i - m)\)로 \(b\)가 사라지므로 \(V(aX + b) = a^2V(X)\), \(\sigma(aX + b) = |a|\sigma(X)\)이다. 즉 모든 값을 똑같이 옮기는 \(b\)는 퍼짐을 바꾸지 못하고, 간격을 늘리는 \(a\)만 퍼짐을 바꾼다.
연결섭씨온도를 화씨온도로 바꾸는 \(F = 1.8C + 32\), 원을 달러로 바꾸는 환산도 모두 \(aX + b\) 꼴이다. 뒤에서 정규분포를 표준화할 때 쓰는 \(Z = \frac{X - m}{\sigma}\)도 \(a = \frac{1}{\sigma}\), \(b = -\frac{m}{\sigma}\)인 경우로, 평균 0, 표준편차 1이 되는 까닭이 이 성질이다.
적용\(a\)를 1에 두고 \(b\)만 움직이면 분포가 옆으로 옮겨질 뿐 \(\sigma(Y)\)는 그대로이다. 다음에는 \(a\)를 \(-2\)로 해 분포가 어떻게 놓이는지, \(\sigma(Y)\)가 음수가 되는지 보고, \(a = 0\)이면 무엇이 보이는지도 확인해 보자.
판단"\(\sigma(2X - 5) = 2\sigma(X) - 5\)"나 "\(V(2X) = 2V(X)\)"는 흔한 실수이다. 더하는 수는 퍼짐과 무관하고, 분산은 제곱 단위라서 \(a^2\)배가 된다. 또 표준편차는 0 이상이므로 \(a\)가 음수여도 \(|a|\)배이다.

확인조건이 달라지면

\(E(X) = 10\), \(V(X) = 4\)인 확률변수 \(X\)에 대하여 \(Y = -3X + 5\)일 때, \(\sigma(Y)\)는?

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