이항정리

\((a + b)^2, (a + b)^3\)은 직접 전개할 수 있습니다. 그러나 \((a + b)^{10}\)을 하나씩 곱해 나가기는 어렵습니다. 그런데 전개식의 계수는 사실 경우의 수입니다. 열 개의 인수에서 \(a\)와 \(b\) 가운데 무엇을 고를지 세면 계수가 나옵니다. 이 절에서는 이 생각으로 이항정리를 얻고, 계수들을 쌓은 파스칼의 삼각형의 성질을 찾은 뒤 특정한 항의 계수와 근삿값 계산에 써 봅니다.

먼저 알면 좋은 것 다항식의 곱셈과 곱셈 공식조합 \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)와 그 성질같은 것이 있는 순열

본문

이항정리

본문

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)이다. 그러면 \((a + b)^{10}\)에서 \(a^7b^3\)의 계수는 얼마일까? 열 번 곱해 전개하지 않고 계수를 바로 알아내는 방법이 있을까?

\(n\) =

그림 1. 파스칼의 삼각형의 \(n\)번째 줄이 \((a + b)^n\)의 계수이며, 각 수는 바로 위 두 수의 합이다.

먼저 알아야 할 것다항식의 곱셈과 곱셈 공식(공통수학1), 조합 \({}_n\mathrm{C}_r\)와 그 성질, 같은 것이 있는 순열(중복순열과 같은 것이 있는 순열).

1.3.1괄호마다 하나씩 고르기

\((a + b)^3 = (a + b)(a + b)(a + b)\)를 분배법칙으로 전개하면, 세 괄호에서 \(a\)나 \(b\)를 하나씩 골라 곱한 항이 모두 나온다. 가령 \(a^2b\)는 세 괄호 가운데 어느 하나에서 \(b\)를, 나머지에서 \(a\)를 고를 때 생긴다. \(b\)를 고를 괄호를 정하는 방법이 \({}_3\mathrm{C}_1 = 3\)가지이므로 \(a^2b\)의 계수는 3이다.

같은 생각을 \(n\)제곱으로 넓히자. \((a + b)^n\)을 전개할 때 \(a^{n-r}b^r\)이 나오는 것은 \(n\)개의 괄호 가운데 \(r\)개에서 \(b\)를 고르는 경우이고, 그 방법은 \({}_n\mathrm{C}_r\)가지이다.

정리 1.3.1 이항정리

자연수 \(n\)에 대하여 \[(a + b)^n = {}_n\mathrm{C}_0a^n + {}_n\mathrm{C}_1a^{n-1}b + \cdots + {}_n\mathrm{C}_ra^{n-r}b^r + \cdots + {}_n\mathrm{C}_nb^n = \sum_{r=0}^{n}{}_n\mathrm{C}_ra^{n-r}b^r\]

계수 \({}_n\mathrm{C}_r\)를 이항계수라 하고, \({}_n\mathrm{C}_ra^{n-r}b^r\)를 일반항이라 한다. 처음 질문의 \(a^7b^3\)의 계수는 \({}_{10}\mathrm{C}_3 = 120\)이다.

1.3.2파스칼의 삼각형

이항계수를 줄마다 늘어놓으면 그림 1의 삼각형이 된다. 조합의 성질 \({}_n\mathrm{C}_r = {}_{n-1}\mathrm{C}_{r-1} + {}_{n-1}\mathrm{C}_r\)에 따라 각 수는 바로 위 두 수의 합이고, \({}_n\mathrm{C}_r = {}_n\mathrm{C}_{n-r}\)이므로 좌우가 대칭이다. 슬라이더로 줄을 바꾸어 보면 줄의 수들이 그대로 전개식의 계수이다.¹

그림 2. 각 항의 계수는 \(b\)를 고를 괄호를 정하는 방법의 수이다.

1.3.3예제 풀이

예제 1.3.2

\((2x - 1)^5\)의 전개식에서 \(x^3\)의 계수를 구하여라. 또 \({}_n\mathrm{C}_0 + {}_n\mathrm{C}_1 + \cdots + {}_n\mathrm{C}_n\)의 값을 이항정리로 구하여라.

일반항은 \({}_5\mathrm{C}_r(2x)^{5-r}(-1)^r\)이다. \(x^3\)이 되려면 \(5 - r = 3\), 곧 \(r = 2\)이다. 따라서 계수는 \({}_5\mathrm{C}_2 \times 2^3 \times (-1)^2 = 10 \times 8 = 80\)이다. \(2x\)의 계수 2를 세제곱하는 것과 \(-1\)의 부호를 빠뜨리지 않아야 한다.

두 번째 합은 이항정리에서 \(a = b = 1\)을 넣으면 \((1 + 1)^n = \displaystyle\sum_{r=0}^{n}{}_n\mathrm{C}_r\)이다. 따라서 합은 \(2^n\)이다.

이 결과는 세는 방법으로도 읽힌다. 원소가 \(n\)개인 집합의 부분집합은 원소를 0개, 1개, …, \(n\)개 고르는 것을 모두 더한 수이고, 동시에 원소마다 넣고 빼는 \(2^n\)가지이다. 파스칼의 삼각형에서 각 줄의 합이 1, 2, 4, 8, …로 두 배씩 커지는 것과도 같다. 아래 탐구 카드에서 괄호에서 고르는 과정과 삼각형의 규칙을 직접 확인해 보자.

파스칼의 삼각형은 프랑스의 파스칼이 1650년대에 체계적으로 다루어 이름이 붙었지만, 그보다 앞서 중국의 양휘(13세기)와 페르시아의 수학자들도 같은 표를 알고 있었다.

마무리

\((a + b)^n\)을 전개하면 \(n\)개의 괄호에서 \(a\)나 \(b\)를 하나씩 골라 곱하므로, \(a^{n-r}b^r\)의 계수는 \(b\)를 고를 괄호 \(r\)개를 정하는 방법의 수 \({}_n\mathrm{C}_r\)이다. 이 계수들은 파스칼의 삼각형을 이룬다. 그래서 처음 질문의 \((a + b)^{10}\)에서 \(a^7b^3\)의 계수는 전개하지 않고도 \({}_{10}\mathrm{C}_3 = 120\)이다.

탐구 1

\((a + b)^n\)의 계수는 왜 조합의 수일까?

이항정리 · 인수마다 고르기

지수 \(n\) = 4

지금 고른 문자: —
이 선택이 만드는 항: —
같은 항이 나오는 선택의 수: —
선택 전체의 수: —

—

위 칸 하나가 인수 \((a + b)\) 하나이다. 칸을 누르면 그 인수에서 고르는 문자가 바뀐다.

질문\((a + b)^4\)를 전개하면 \(a^2b^2\)의 계수는 얼마일까? 곱셈을 끝까지 하지 않고 알 수 있을까?
복원\((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\)처럼, 다항식의 곱을 전개하면 인수마다 항을 하나씩 골라 곱한 것이 모두 나온다. 그리고 서로 다른 \(n\)개에서 순서 없이 \(r\)개를 고르는 방법은 \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)가지이다.
설명\((a + b)^n = (a + b)(a + b)\cdots(a + b)\)에서 인수 \(n\)개마다 \(a\)나 \(b\)를 하나씩 골라 곱하면 항이 하나 생기고, 선택은 모두 \(2^n\)가지이다. \(b\)를 \(r\)번, \(a\)를 \(n - r\)번 고르면 항은 \(a^{n-r}b^r\)이고, \(b\)를 고를 인수 \(r\)개를 정하는 방법이 \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)가지이므로 이 항은 \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)번 나온다. 따라서 \((a + b)^n = {}_{n}\mathrm{C}_{0}a^n + {}_{n}\mathrm{C}_{1}a^{n-1}b + \cdots + {}_{n}\mathrm{C}_{r}a^{n-r}b^r + \cdots + {}_{n}\mathrm{C}_{n}b^n\)이다. 이것을 이항정리라 하고, 계수 \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)를 이항계수, \({}_{n}\mathrm{C}_{r}a^{n-r}b^r\)를 일반항이라고 한다. 여러 항을 모두 더할 때는 '합'을 뜻하는 기호 \(\sum\)(시그마)를 쓴다. \(\sum_{r=0}^n\)은 \(r\)에 0, 1, 2, …, \(n\)을 차례로 넣은 값을 모두 더한다는 뜻이라, \((a + b)^n = \sum_{r=0}^n\) \({}_{n}\mathrm{C}_{r}a^{n-r}b^r\)로 짧게 쓸 수 있다.
연결고른 문자를 늘어놓은 abba 같은 문자열은 \(a\)가 \(n - r\)개, \(b\)가 \(r\)개인 같은 것이 있는 순열이다. 그래서 계수는 \(\frac{n!}{(n - r)!r!} = {}_{n}\mathrm{C}_{r}\)로도 구해지고, 바둑판 길의 최단 경로 수와 같은 수인 것도 이 때문이다. 또 막대 높이를 \(n\)마다 한 줄씩 쌓으면 파스칼의 삼각형이 된다.
적용\(n = 4\)에서 칸을 눌러 \(b\)를 두 번 고르는 선택을 서로 다르게 여러 개 만들어 보고, 모두 몇 가지인지, 가운데 막대의 높이와 같은지 확인하자. '다음 선택'을 \(2^n\)번 누르면 모든 선택을 한 번씩 지나가는데, 그동안 막대마다 몇 번씩 강조되는지 세고, \(n\)을 바꾸며 막대 높이의 합도 확인해 보자.
판단\((a + b)^n\)을 \(a^n + b^n\)으로 쓰는 실수가 흔하다. 그것은 인수마다 모두 \(a\)를 고르거나 모두 \(b\)를 고르는 두 경우만 센 것이다. 또 일반항의 \(r\)는 \(b\)의 지수이므로 '\(r\)번째 항'이 아니라 '\(r + 1\)번째 항'이다. 그리고 \(a, b\) 자리에 \(2x\), \(-1\) 같은 식이 들어가면 계수에 \(2^{n-r}\)와 \((-1)^r\)도 곱해진다.

확인조건이 달라지면

\((a + b)^6\)의 전개식에서 \(a^2b^4\)의 계수는?

탐구 2

이항계수를 삼각형으로 쌓으면 어떤 규칙이 보일까?

파스칼의 삼각형 · 이항계수의 성질

마지막 행 \(N\) = 8

—

삼각형의 수를 눌러 골라 보자. \(n\)행의 왼쪽에서 \(r\)번째(0부터 셈) 수가 \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)이다.

질문\((a + b)^0, (a + b)^1, (a + b)^2, \cdots\)의 계수를 한 줄씩 쌓으면, 전개하지 않고도 다음 줄을 쓸 수 있을까?
복원\((a + b)^n\)의 전개식에서 \(a^{n-r}b^r\)의 계수는 이항계수 \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)이다. 또 \({}_{n}\mathrm{C}_{r} = {}_{n}\mathrm{C}_{n-r}\)이다.
설명이항계수를 \(n = 0\)부터 차례로 쌓은 것을 파스칼의 삼각형이라고 한다. 각 행의 양 끝은 1이고, 나머지 수는 바로 위 왼쪽과 오른쪽 두 수의 합인데, 이것이 \({}_{n}\mathrm{C}_{r} = {}_{n-1}\mathrm{C}_{r-1} + {}_{n-1}\mathrm{C}_{r}\)이다. \((a + b)^n = (a + b)^{n-1}(a + b)\)에서 \(a^{n-r}b^r\)는 앞 줄의 \(a^{n-r}b^{r-1}\)에 \(b\)를 곱하거나 \(a^{n-1-r}b^r\)에 \(a\)를 곱해서만 생기기 때문이다. 또 각 행이 좌우 대칭인 것은 \({}_{n}\mathrm{C}_{r} = {}_{n}\mathrm{C}_{n-r}\)를 뜻한다.
연결이항정리에 \(a = b = 1\)을 넣으면 \({}_{n}\mathrm{C}_{0} + {}_{n}\mathrm{C}_{1} + \cdots + {}_{n}\mathrm{C}_{n} = 2^n\)이고, \(a = 1\), \(b = -1\)을 넣으면 번갈아 더하고 뺀 값이 0이다\((n \ge 1)\). 그래서 두 식을 더하고 2로 나누면 짝수 번째 수들의 합이 \(2^{n-1}\)이다. 대각선을 따라 더한 합은 그 끝에서 한 칸 아래 오른쪽(또는 왼쪽)의 수가 되는데, 예를 들어 \({}_{2}\mathrm{C}_{2} + {}_{3}\mathrm{C}_{2} + {}_{4}\mathrm{C}_{2} = {}_{5}\mathrm{C}_{3}\)이다. 위의 두 수 규칙을 맨 아래 칸부터 거듭 쓰면 이 식이 나온다.
적용'위의 두 수'에서 여러 수를 눌러 덧셈 규칙을 확인하고, '행의 합'으로 바꾸어 \(N\)을 늘리면서 합과 번갈아 더한 값이 어떻게 되는지 보자. '대각선 합'에서는 아래쪽 수를 눌러 위로 이어지는 대각선의 합이 어느 수와 같은지 찾고, '홀수만 칠하기'를 켜고 \(N\)을 12까지 늘려 어떤 무늬가 보이는지도 확인해 보자.
판단행 번호와 자리 번호는 0부터 센다. 맨 위 1은 0행이고, 각 행의 첫 1은 \({}_{n}\mathrm{C}_{0}\)이므로, 1부터 세면 계수가 한 칸씩 어긋난다. 또 홀수 무늬는 \(N\)이 작을 때 보이는 모양에서 짐작한 것이다. 그림에서 짐작한 규칙은 덧셈 규칙이나 이항정리로 따져 보아야 성질이라고 말할 수 있다.

확인조건이 달라지면

\({}_{2}\mathrm{C}_{2} + {}_{3}\mathrm{C}_{2} + {}_{4}\mathrm{C}_{2} + {}_{5}\mathrm{C}_{2} + {}_{6}\mathrm{C}_{2}\)의 값은?

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