이항정리

과학관의 갤턴 보드에는 못이 10줄로 박혀 있고, 위에서 떨어뜨린 공은 못에 부딪힐 때마다 왼쪽이나 오른쪽으로 반반의 확률로 튄다. 공 1024개를 떨어뜨리니 아래 11개의 칸 가운데 한가운데 칸에 250개 가까이 모였고, 양 끝 칸에는 한두 개씩만 들어갔다. 한가운데 칸에 들어가는 길은 몇 가지이고, 끝 칸에 들어가는 길은 몇 가지일까? 이 수는 \((a + b)^{10}\)을 전개했을 때의 계수와 무슨 관계가 있을까?

3.2.1전개는 길 고르기이다

\((a + b)^n\)은 \((a + b)\)를 \(n\)번 곱한 것이다. 전개하면 \(n\)개의 괄호마다 \(a\)와 \(b\) 가운데 하나를 골라 곱한 항들이 모두 나오고, 그 가운데 \(b\)를 \(r\)번 고른 항은 \(a^{n-r}b^r\)이다. \(n\)개의 괄호 가운데 \(b\)를 고를 \(r\)개의 괄호를 정하는 방법은 \({}_n\mathrm{C}_r\)가지이므로, \(a^{n-r}b^r\)의 계수는 \({}_n\mathrm{C}_r\)이다. 갤턴 보드에서도 공은 10번 부딪힐 때마다 왼쪽과 오른쪽 가운데 하나를 고르므로, 오른쪽으로 \(r\)번 튄 공이 들어가는 칸까지의 길은 \({}_{10}\mathrm{C}_r\)가지이다.

이항계수의 관계 \({}_n\mathrm{C}_r = {}_{n-1}\mathrm{C}_{r-1} + {}_{n-1}\mathrm{C}_r\)은 파스칼의 삼각형에서 각 수가 바로 위 두 수의 합인 것과 같다. 갤턴 보드로 보면 어떤 못에 도착하는 길은 왼쪽 위 못에서 오는 길과 오른쪽 위 못에서 오는 길을 더한 것이다. 또 모든 이항계수의 합 \(2^n\)은 공이 갈 수 있는 길 전체의 수이다. 그래서 공 하나가 가운데 칸에 들어갈 확률은 가운데 칸까지의 길 수를 \(2^{10}\)으로 나눈 값이다.¹

3.2.2작은 수의 거듭제곱 어림하기

이항정리는 \(1\)에 가까운 수의 거듭제곱을 손으로 어림하는 데도 쓴다. \((1 + x)^n = 1 + nx + {}_n\mathrm{C}_2x^2 + {}_n\mathrm{C}_3x^3 + \cdots\)에서 \(x\)가 작으면 뒤로 갈수록 항이 빠르게 작아진다. 그래서 앞의 몇 항만 더해도 소수 몇째 자리까지 정확한 값을 얻는다. 예금 이자를 계산하거나 물리에서 작은 변화를 어림할 때 \((1 + x)^n \approx 1 + nx\)를 자주 쓰는 것도 이 때문이다.

3.2.3예제 풀이

한가운데 칸은 오른쪽으로 5번, 왼쪽으로 5번 튄 공이 들어가므로 길의 수는 \({}_{10}\mathrm{C}_5 = 252\)이다. 전체 길의 수는 \(2^{10} = 1024\)이므로 확률은 \(252/1024 \approx 0.246\)이다. 양 끝 칸은 10번 모두 같은 쪽으로 튀어야 해서 각각 길이 1가지뿐이므로, 둘 가운데 하나에 들어갈 확률은 \(2/1024 \approx 0.002\)이다.

공 1024개를 떨어뜨리면 한가운데 칸에는 평균 252개가 모이고, 양 끝 칸에는 합쳐서 평균 2개가 들어간다. 실제로는 우연 때문에 이 값에서 조금씩 벗어난다. 그래서 가운데 칸이 가장 높고 양쪽으로 갈수록 낮아지는 종 모양의 더미가 생긴다. 즉 \((a + b)^n\)의 이항계수는 \(n\)번의 두 갈래 선택에서 한쪽을 \(r\)번 고르는 길의 수이며, 가운데에 가까울수록 길이 많아 공이 많이 모인다.

아래 탐구 카드에서 갤턴 보드에 공을 떨어뜨려 칸마다 쌓이는 수를 이항계수와 비교하고, 이항정리로 \(1.01^{10}\)을 어림해 보자.

1. 이 판은 1873년 영국의 과학자 갤턴이 만들어, 작은 우연이 많이 쌓이면 종 모양의 분포가 생긴다는 것을 보여 주었다. 파스칼의 삼각형은 파스칼보다 수백 년 앞서 11세기 중국의 가헌과 13세기 양휘의 책에도 실려 있다.