확률변수와 확률분포

동전을 세 번 던지면 '앞뒤앞', '뒤뒤앞'처럼 결과가 8가지이다. 이 결과들은 그대로는 더하거나 평균을 낼 수 없다. 그런데 각 결과에 '앞면의 개수'라는 수를 붙이면 0, 1, 2, 3 가운데 하나가 되어 계산할 수 있다. 결과에 수를 붙이면 무엇이 달라질까?

동전 개수 \(n\) =

3.1.1확률변수

동전을 세 번 던지는 시행의 표본공간은 앞앞앞, 앞앞뒤, …, 뒤뒤뒤의 8가지이다. 각 결과에 앞면의 개수를 대응시키면, 앞앞앞은 3, 앞뒤앞은 2, 뒤뒤뒤는 0이 된다. 다시 말해 표본공간의 각 원소에 실수 하나를 대응시키는 함수를 만든 것이다. 이런 함수를 확률변수라 하고 보통 \(X\)처럼 대문자로 쓴다.

확률변수 \(X\)가 어떤 값을 가질 확률도 정할 수 있다. \(X = 2\)인 결과는 앞앞뒤, 앞뒤앞, 뒤앞앞의 3가지이므로 \(P(X = 2) = \tfrac{3}{8}\)이다. 같은 방법으로 \(P(X = 0) = \tfrac{1}{8}\), \(P(X = 1) = \tfrac{3}{8}\), \(P(X = 3) = \tfrac{1}{8}\)이다.

그림 1의 슬라이더로 동전 개수를 바꾸어 보자. 막대의 개수는 \(n + 1\)개이고, 가운데가 가장 높은 대칭 모양이 된다. 막대 높이의 합이 언제나 1인 것은, 어떤 결과든 \(X\)의 값 가운데 정확히 하나를 갖기 때문이다.

3.1.2연속확률변수

버스를 기다리는 시간처럼 0분부터 10분 사이의 모든 실수 값을 가질 수 있는 확률변수도 있다. 이런 확률변수를 연속확률변수라 한다. 값이 셀 수 없이 많으므로 '정확히 3분'일 확률은 0이고, 대신 '2분에서 4분 사이'처럼 범위의 확률을 생각한다. 이때 확률은 확률밀도함수의 그래프 아래 넓이로 나타내며, 전체 넓이는 1이다.¹

3.1.3예제 풀이

\(X \le k\)는 두 눈이 모두 \(k\) 이하인 경우이므로 \(P(X \le k) = \dfrac{k^2}{36}\)이다. 그러면 \(P(X = k) = P(X \le k) - P(X \le k - 1) = \dfrac{k^2 - (k - 1)^2}{36} = \dfrac{2k - 1}{36}\)이다.

따라서 \(X\)가 1, 2, 3, 4, 5, 6일 확률은 \(\tfrac{1}{36}, \tfrac{3}{36}, \tfrac{5}{36}, \tfrac{7}{36}, \tfrac{9}{36}, \tfrac{11}{36}\)이다. 합은 \(\tfrac{36}{36} = 1\)로 맞는다.

\(P(X \ge 5) = \dfrac{9 + 11}{36} = \dfrac{5}{9}\)이다. 여사건으로 확인하면 \(1 - P(X \le 4) = 1 - \tfrac{16}{36} = \tfrac{20}{36}\)으로 같다. 큰 값을 취하면 큰 수가 나오기 쉬워져 분포가 오른쪽으로 기운다. 아래 탐구 카드에서 결과에 수를 붙여 확률분포를 직접 만들어 보자.

1. 0분부터 10분까지 어느 시각이든 같은 가능성으로 버스가 온다면 확률밀도함수는 높이 \(\tfrac{1}{10}\)인 직선이고, 2분에서 4분 사이일 확률은 넓이 \(2 \times \tfrac{1}{10} = 0.2\)이다.