확률의 곱셈정리

주머니에서 공을 연달아 두 번 꺼낼 때 두 번 모두 빨간 공일 확률은, 첫째가 빨간 공일 확률에 '첫째가 빨간 공이었을 때' 둘째가 빨간 공일 확률을 곱해 얻습니다. 이 절에서는 조건부확률의 정의를 곱셈 꼴로 바꾼 확률의 곱셈정리를 나뭇가지 그림으로 익힙니다. 같은 시행을 서로 영향 없이 되풀이하는 독립시행에서는 이 곱셈이 일정한 규칙을 이룹니다.

먼저 알면 좋은 것 조건부확률 독립과 종속조합 \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)

본문

확률의 곱셈정리

본문

빨간 공 3개와 파란 공 2개가 든 주머니에서 공을 하나씩 두 번 꺼낸다. 꺼낸 공을 다시 넣지 않는다면 두 번 모두 빨간 공일 확률은 얼마일까? 또 두 번째 공이 빨간 공일 확률은 첫 번째에 무엇을 꺼냈는지에 달려 있을까?

다시 넣기

그림 1. 나뭇가지의 각 가지에는 앞에서 일어난 일을 조건으로 한 확률을 적고, 한 갈래 길의 확률은 가지의 확률을 곱해 얻는다.

먼저 알아야 할 것조건부확률(조건부확률), 독립과 종속(독립과 종속), 조합 \({}_n\mathrm{C}_r\).

2.6.1곱셈정리

조건부확률의 정의 \(P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\)의 양변에 \(P(A)\)를 곱하면, 두 사건이 함께 일어날 확률을 얻는다.

정리 2.6.1 확률의 곱셈정리

\(P(A) > 0\)일 때 \[P(A \cap B) = P(A)P(B \mid A)\] 특히 \(A\)와 \(B\)가 독립이면 \(P(A \cap B) = P(A)P(B)\)이다.

처음 질문에서 첫째 공이 빨간 공일 확률은 \(\tfrac{3}{5}\)이다. 첫째로 빨간 공을 꺼냈다면 주머니에는 빨간 공 2개, 파란 공 2개가 남으므로 둘째도 빨간 공일 확률은 \(\tfrac{2}{4}\)이다. 따라서 두 번 모두 빨간 공일 확률은 \(\tfrac{3}{5} \times \tfrac{2}{4} = \tfrac{3}{10}\)이다. 그림 1의 나뭇가지에서 위쪽 길을 따라 확률을 곱한 것이다.

2.6.2둘째 공의 확률

두 번째 공이 빨간 공이 되는 길은 '빨강 → 빨강'과 '파랑 → 빨강' 두 갈래이다. 두 길은 동시에 일어나지 않으므로 확률을 더한다. \(\tfrac{3}{5} \times \tfrac{2}{4} + \tfrac{2}{5} \times \tfrac{3}{4} = \tfrac{6}{20} + \tfrac{6}{20} = \tfrac{3}{5}\)이다. 즉 첫째 공을 모르면, 둘째 공이 빨간 공일 확률은 첫째와 똑같이 \(\tfrac{3}{5}\)이다.¹

그림 1의 슬라이더로 '다시 넣기'를 켜면, 둘째 가지의 확률이 첫째 결과와 상관없이 \(\tfrac{3}{5}\), \(\tfrac{2}{5}\)로 같아진다. 이때 두 번의 시행은 독립이다. 이렇게 같은 시행을 독립적으로 되풀이하는 것을 독립시행이라 한다.

2.6.3독립시행의 확률

동전을 4번 던져 앞면이 정확히 2번 나올 확률을 생각하자. '앞앞뒤뒤'처럼 특정한 순서 하나의 확률은 독립이므로 \(\left(\tfrac{1}{2}\right)^4\)이다. 앞면이 나올 두 자리를 고르는 방법이 \({}_4\mathrm{C}_2 = 6\)가지이므로 확률은 \(6 \times \tfrac{1}{16} = \tfrac{3}{8}\)이다.

정리 2.6.2 독립시행의 확률

한 번의 시행에서 사건 \(A\)가 일어날 확률이 \(p\)일 때, 이 시행을 \(n\)번 독립적으로 되풀이해 \(A\)가 정확히 \(r\)번 일어날 확률은 \[{}_n\mathrm{C}_r\,p^r(1 - p)^{n-r}\]

그림 2. 독립시행에서는 순서 하나의 확률에 그런 순서의 수를 곱한다.

2.6.4예제 풀이

예제 2.6.3

자유투 성공률이 0.7인 선수가 5번 던질 때 정확히 4번 성공할 확률과, 4번 이상 성공할 확률을 구하여라. (\(0.7^4 = 0.2401\), \(0.7^5 = 0.16807\))

정확히 4번 성공할 확률은 \({}_5\mathrm{C}_4 \times 0.7^4 \times 0.3 = 5 \times 0.2401 \times 0.3 = 0.36015\)이다.

5번 모두 성공할 확률은 \(0.7^5 = 0.16807\)이다. 4번 이상 성공하는 것은 '정확히 4번'과 '정확히 5번'으로 나뉘고 두 경우는 배반이므로 더한다. 따라서 \(0.36015 + 0.16807 = 0.52822\), 곧 약 0.53이다.

성공률이 70%인 선수라도 5번 가운데 4번 이상 넣을 확률은 절반을 조금 넘는 정도이다. 곱셈정리로 한 길의 확률을, 조합으로 길의 수를, 덧셈정리로 여러 경우를 묶었다. 아래 탐구 카드에서 나뭇가지와 독립시행을 직접 조작해 보자.

제비뽑기에서 먼저 뽑든 나중에 뽑든 당첨될 확률이 같은 것도 같은 이유이다. 앞 사람이 뽑은 결과를 모르는 한, 몇 번째로 뽑든 확률은 처음과 같다.

마무리

잇달아 일어나는 사건의 확률은 \(P(A \cap B) = P(A)P(B \mid A)\)로 곱하며, 나뭇가지 그림에서 길을 따라 가지의 확률을 곱하는 것과 같다. 독립이면 조건이 빠져 확률을 그대로 곱하고, 독립시행에서 \(r\)번 성공할 확률은 \({}_n\mathrm{C}_rp^r(1 - p)^{n-r}\)이다. 그래서 처음 질문의 두 번 모두 빨간 공일 확률은 \(\tfrac{3}{10}\)이고, 둘째 공이 빨간 공일 확률은 첫째를 모를 때 \(\tfrac{3}{5}\)이다.

탐구 1

두 번째 공이 빨간 공일 확률은 첫 번째 공에 달려 있을까?

곱셈정리 · 나뭇가지 그림

빨간 공 = 3개 흰 공 = 2개

—

고른 경로의 확률: —
\(P(\text{첫째 빨강})\): —
\(P(\text{둘째 빨강})\): —

오른쪽 끝의 동그라미(또는 그 줄)를 누르면 그 경로를 고른다. 연두색 띠는 둘째 공이 빨간 공인 두 경로이다.

질문빨간 공 3개, 흰 공 2개가 든 주머니에서 공을 하나씩 두 번 꺼낸다. 꺼낸 공을 다시 넣지 않을 때, 두 번 모두 빨간 공일 확률은 얼마일까? 또 두 번째 공이 빨간 공일 확률은 첫 번째 공의 색에 따라 달라질까?
복원\(P(B\mid A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}\)이다. 즉 A가 일어난 뒤에는 줄어든 표본공간, 곧 바뀐 주머니에서 B의 확률을 생각한다.
설명조건부확률의 정의 양변에 \(P(A)\)를 곱하면 \(P(A\cap B) = P(A)P(B\mid A)\) \((P(A) > 0)\)이고, 같은 방법으로 \(P(A\cap B) = P(B)P(A\mid B)\) \((P(B) > 0)\)이다. 이것이 확률의 곱셈정리이고, 나뭇가지 그림에서는 가지 위의 확률을 곱해 경로의 확률을 얻는다. 첫째가 빨강이면 주머니에 빨강 2개, 흰 공 2개가 남으므로 \(P(\text{빨강},\text{빨강}) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}\)이다. 또 한 사건에 이르는 경로가 여럿이면 경로끼리는 배반이므로 확률을 더해, 둘째가 빨강일 확률은 \(\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{5}\)이다. 꺼낸 공을 다시 넣으면 둘째 상황이 처음과 같아져 \(P(B\mid A) = P(B)\)이므로, 곱셈정리는 \(P(A\cap B) = P(A)P(B)\)가 된다.
연결그래서 두 사건 A, B가 독립이면 곱셈정리는 \(P(A\cap B) = P(A)P(B)\)로 간단해진다. 진단 검사에서 \(P(\text{양성}) = P(\text{환자})P(\text{양성}\mid\text{환자}) + P(\text{비환자})P(\text{양성}\mid\text{비환자})\)로 구한 것도 같은 구조로, 경로별로 곱하고 같은 결과에 이르는 경로끼리 더한다.
적용비복원에서 빨간 공과 흰 공의 수를 여러 가지로 바꿔 \(P(\text{첫째 빨강})\)과 \(P(\text{둘째 빨강})\)이 늘 같은지 비교해 보자. 복원으로 바꾸면 둘째 가지의 수가 어떻게 바뀌는지 보고, 빨간 공을 1개로 하면 비복원에서 '빨강 → 빨강' 경로의 확률이 0이 되는 것도 확인해 보자.
판단비복원에서는 둘째 공의 확률이 첫째 공의 색에 따라 달라진다. 그렇다고 둘째가 빨강일 확률 자체가 첫째보다 작아지는 것은 아니다. 첫째 공의 색을 모르면 둘째 공도 처음 주머니와 같은 확률을 갖기 때문이다. 제비뽑기에서 '나중에 뽑으면 불리하다'는 생각은 이 점을 놓친 것이다.

확인조건이 달라지면

흰 공 3개, 검은 공 2개가 든 주머니에서 공을 하나씩 두 번 꺼낸다. 꺼낸 공을 다시 넣지 않을 때, 두 번째 공이 검은 공일 확률은?

탐구 2

동전을 네 번 던져 앞면이 두 번 나오는 길은 몇 가지일까?

독립시행 · 곱셈정리

시행 횟수 \(n\) = 4 성공 횟수 \(r\) = 2

—

경로 수 \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\): —
한 경로의 확률: —
\(P(\text{정확히 }r\text{번})\): —

작은 칸 한 줄이 시행 \(n\)번의 결과 하나이고, 왼쪽부터 첫째, 둘째, … 시행이다. 채운 칸이 성공이다. 아래 수는 각 묶음의 확률이며, 모두 더하면 1이다.

질문동전을 네 번 던질 때 앞면이 정확히 두 번 나올 확률은 얼마일까? 주사위를 네 번 던져 1의 눈이 정확히 두 번 나올 확률도 같은 방법으로 구할 수 있을까?
복원두 사건이 독립이면 \(P(A\cap B) = P(A)P(B)\)이다. 그리고 서로 다른 \(n\)개에서 \(r\)개를 고르는 방법의 수는 \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)이다.
설명동전이나 주사위를 되풀이해 던지는 것처럼, 각 시행의 결과가 다른 시행의 결과에 영향을 주지 않는 시행을 독립시행이라고 한다. 한 번의 시행에서 사건 A가 일어날 확률이 \(p\)일 때, \(n\)번의 독립시행에서 '성공, 실패, 성공, …'처럼 정해진 순서 하나가 나올 확률은 곱셈정리로 \(p^r(1 - p)^{n-r}\)이다. 그런데 성공 \(r\)번이 들어갈 자리를 고르는 방법이 \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)가지이고 이 순서들은 서로 배반이므로, A가 정확히 \(r\)번 일어날 확률은 \({}_{n}\mathrm{C}_{r}p^r(1 - p)^{n-r}\)이다.
연결이 확률을 \(r = 0, 1, \cdots, n\)에 대해 모은 것이 통계 단원의 이항분포이다. 이항정리로 \((p + q)^n\)을 전개한 각 항이 바로 이 확률이므로, 모두 더하면 \((p + q)^n = 1^n = 1\)이다\((q = 1 - p)\).
적용\(n = 4\), \(r = 2\)에서 강조된 묶음의 줄을 세어 \({}_{4}\mathrm{C}_{2}\)와 같은지 확인해 보자. 성공 확률을 \(\frac{1}{6}\)로 바꾸면 줄의 수는 그대로인데 한 줄의 확률이 바뀌어, 확률이 가장 큰 묶음이 왼쪽으로 옮겨 간다. \(n\)을 6까지 늘려 묶음의 줄 수가 파스칼의 삼각형 한 줄과 같은지도 보자.
판단"네 번 가운데 두 번이니 \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)"처럼 비율을 확률로 쓰면 안 된다. 한 줄의 확률 \(p^r(1 - p)^{n-r}\)만 구하고 \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)를 곱하지 않는 실수도 흔하다. 또 이 공식은 매번 성공 확률이 같고 시행끼리 독립일 때만 쓰므로, 꺼낸 공을 다시 넣지 않는 추출에는 그대로 쓸 수 없다.

확인조건이 달라지면

주사위 한 개를 네 번 던질 때, 3의 배수의 눈이 정확히 두 번 나올 확률은?

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