조건부확률

한 학교 학생 200명 가운데 지각한 학생은 20명이다. 그런데 버스로 오는 학생 80명만 보면 지각한 학생이 12명이다. 아무 학생이나 골랐을 때 지각했을 확률과, 버스로 오는 학생 가운데에서 골랐을 때 지각했을 확률은 같을까?

버스로 오는 학생 중 지각

2.4.1표본공간이 줄어든다

아무 학생이나 고르면 지각했을 확률은 \(\dfrac{20}{200} = 0.1\)이다. 그런데 '버스로 오는 학생'이라는 정보를 알면, 고르는 대상이 버스로 오는 80명으로 줄어든다. 그 가운데 지각한 학생은 12명이므로 확률은 \(\dfrac{12}{80} = 0.15\)이다.

이렇게 사건 \(A\)가 일어났다는 조건 아래에서 사건 \(B\)가 일어날 확률을 조건부확률이라 하고 \(P(B \mid A)\)로 쓴다. 다시 말해 조건부확률은 표본공간을 \(A\)로 바꾸어 계산한 확률이다.

정의의 분자와 분모에 \(n(S) = 200\)을 곱하면 \(\dfrac{n(A \cap B)}{n(A)} = \dfrac{12}{80}\)이 되어 위의 계산과 같다. 그림 1의 슬라이더로 버스 학생 가운데 지각한 수를 바꾸어 보면, 전체에서 지각할 확률은 그대로 0.1인데 조건부확률은 크게 달라진다.¹

2.4.2조건의 방향

\(P(B \mid A)\)와 \(P(A \mid B)\)는 다르다. '버스로 오는 학생 가운데 지각한 비율'은 \(\tfrac{12}{80} = 0.15\)이고, '지각한 학생 가운데 버스로 온 비율'은 \(\tfrac{12}{20} = 0.6\)이다. 분자는 같지만 분모, 곧 무엇을 조건으로 삼았는지가 다르다. 이 둘을 헷갈리는 것이 조건부확률에서 가장 흔한 실수이다.

이 실수가 얼마나 큰 차이를 낳는지 병원 검사로 살펴보자. 어떤 병에 걸린 사람이 100명 중 1명꼴이고, 검사는 병이 있는 사람의 90%를 양성으로 찾아내며, 병이 없는 사람도 5%는 잘못 양성으로 나온다고 하자. 확률보다 사람 수로 세는 편이 쉬우니 1만 명을 검사한다고 생각한다. 병이 있는 100명 가운데 90명이 양성이고, 병이 없는 9900명 가운데 495명도 양성이다. 그러면 양성인 사람은 모두 585명이고, 그 가운데 정말 병이 있는 사람은 90명뿐이다. 그래서 \(P(\text{양성} \mid \text{병})\)은 0.9이지만 \(P(\text{병} \mid \text{양성})\)은 \(\dfrac{90}{585} \approx 0.15\)에 그친다. 양성 판정을 받았다는 조건은 표본공간을 585명으로 줄이는데, 그 안에는 원래 수가 훨씬 많은 건강한 사람이 섞여 들어오기 때문이다.

2.4.3예제 풀이

합이 8인 경우는 \((2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)\)의 5가지이고, 이것이 새 표본공간이다. 그 가운데 두 눈이 모두 짝수인 것은 \((2, 6), (4, 4), (6, 2)\)의 3가지이다. 따라서 확률은 \(\dfrac{3}{5}\)이다. 조건이 없을 때 두 눈이 모두 짝수일 확률 \(\tfrac{9}{36} = \tfrac{1}{4}\)보다 크다.

두 번째 질문은 정의의 양변에 \(P(A)\)를 곱하면 된다. \(P(A \cap B) = P(A)P(B \mid A) = 0.4 \times 0.5 = 0.2\)이다. 이 식은 다음 절의 곱셈정리로 이어진다.

두 문제 모두 '무엇이 일어났다는 것을 아는가'에 따라 분모가 바뀌었다. 조건부확률을 구할 때는 먼저 새 표본공간이 무엇인지 적어 두면 헷갈리지 않는다. 아래 탐구 카드에서 표의 수를 바꾸며 두 방향의 조건부확률을 직접 비교해 보자.

1. 지각한 학생이 20명으로 고정되어 있으므로, 버스 학생 가운데 지각한 수를 늘리면 버스가 아닌 학생 가운데 지각한 수는 그만큼 줄어든다. 두 조건부확률이 반대로 움직이는 까닭이다.