확률의 뜻과 기본 성질
본문주사위 두 개를 던지면 눈의 합은 2부터 12까지 11가지이다. 그러면 합이 7일 확률은 \(\tfrac{1}{11}\)일까? 또 직접 수천 번 던져서 얻은 비율과, 계산으로 얻은 확률은 어떤 관계일까?
2.1.1시행, 표본공간, 사건
같은 조건에서 되풀이할 수 있고 결과가 우연에 따라 정해지는 실험이나 관찰을 시행이라 한다. 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과의 집합을 표본공간 \(S\)라 하고, 표본공간의 부분집합을 사건이라 한다. 주사위 두 개를 던지는 시행의 표본공간은 \((1, 1)\)부터 \((6, 6)\)까지 36개의 순서쌍이다.
여기서 주의할 점이 있다. '눈의 합'을 결과로 보면 11가지이지만, 이 11가지는 일어날 가능성이 같지 않다. 합이 2인 경우는 \((1, 1)\) 하나뿐이지만, 합이 7인 경우는 \((1, 6), (2, 5), \ldots, (6, 1)\) 여섯 가지이다. 확률을 계산하려면 각 결과가 일어날 가능성이 같은 표본공간을 골라야 한다.
표본공간 \(S\)의 각 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같을 때, 사건 \(A\)가 일어날 확률은 \[P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}\]
따라서 처음 질문의 '합이 7'일 확률은 \(\dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\)이고, \(\tfrac{1}{11}\)이 아니다.
2.1.2통계적 확률
그림 1에서 던진 횟수를 늘려 보자. 몇 번 던지지 않으면 상대도수가 크게 흔들리지만, 수천 번을 던지면 \(\tfrac{1}{6} \approx 0.167\) 근처에 모인다. 이렇게 시행을 많이 되풀이할 때 상대도수가 다가가는 값을 통계적 확률이라 한다. 각 결과가 같은 가능성인지 알 수 없는 경우, 가령 압정을 던져 바늘이 위로 갈 확률은 이 방법으로만 구할 수 있다.1
임의의 사건 \(A\)에 대하여 \(0 \le P(A) \le 1\)이다. 반드시 일어나는 사건 \(S\)의 확률은 \(P(S) = 1\), 절대로 일어나지 않는 사건 \(\varnothing\)의 확률은 \(P(\varnothing) = 0\)이다.
2.1.3예제 풀이
주사위 두 개를 던질 때 눈의 합이 10 이상일 확률과, 두 눈이 같을 확률을 구하여라. 또 A, B, C, D 네 사람을 일렬로 세울 때 A가 맨 앞에 설 확률을 구하여라.
합이 10 이상인 경우는 합 10이 \((4, 6), (5, 5), (6, 4)\)의 3가지, 합 11이 2가지, 합 12가 1가지로 모두 6가지이다. 따라서 확률은 \(\dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\)이다. 두 눈이 같은 경우는 \((1, 1)\)부터 \((6, 6)\)까지 6가지이므로 역시 \(\dfrac{1}{6}\)이다.
네 사람을 세우는 방법은 \(4! = 24\)가지로 모두 같은 가능성이다. A가 맨 앞이면 나머지 셋을 세우는 \(3! = 6\)가지가 있으므로 확률은 \(\dfrac{6}{24} = \dfrac{1}{4}\)이다.
마지막 답은 '맨 앞에 설 수 있는 사람은 넷이고 그 가운데 A일 가능성은 모두 같다'고 생각해도 \(\tfrac{1}{4}\)로 같다. 같은 가능성인 결과를 무엇으로 잡느냐에 따라 계산의 길이가 달라진다. 아래 탐구 카드에서 실험 횟수를 늘리며 상대도수와 확률을 직접 비교해 보자.
- 시행 횟수를 늘리면 상대도수가 확률에 가까워진다는 것을 큰수의 법칙이라 한다. 통계 단원의 이항분포에서 다시 다룬다.
확률은 같은 가능성인 결과들로 표본공간을 잡고 사건에 속한 결과의 비율로 정하며, 시행을 많이 되풀이한 상대도수가 다가가는 값으로도 정할 수 있다. 확률은 0과 1 사이의 수이다. 그래서 처음 질문의 '합이 7'은 11가지 합 가운데 하나가 아니라 36개 결과 가운데 6개이므로 확률이 \(\tfrac{1}{6}\)이다.