확률의 덧셈정리
본문1부터 30까지의 수가 적힌 카드에서 한 장을 뽑는다. 4의 배수일 확률은 \(\tfrac{7}{30}\), 6의 배수일 확률은 \(\tfrac{5}{30}\)이다. 그러면 4의 배수 또는 6의 배수일 확률은 \(\tfrac{12}{30}\)일까? 두 확률을 그냥 더하면 무엇이 잘못될까?
2.2.1합사건과 곱사건
사건 \(A\) 또는 사건 \(B\)가 일어나는 사건을 합사건이라 하고 \(A \cup B\)로 쓴다. \(A\)와 \(B\)가 동시에 일어나는 사건은 곱사건 \(A \cap B\)이다. 처음 질문에서 \(A\)를 4의 배수, \(B\)를 6의 배수라 하면 \(A \cap B\)는 12의 배수, 곧 12와 24이다.
그림 1에서 두 배수를 칠해 보면, 12와 24는 두 색이 겹친다. 4의 배수 7개와 6의 배수 5개를 그냥 더하면 이 두 수를 두 번 센다. 그래서 4의 배수 또는 6의 배수는 \(7 + 5 - 2 = 10\)개이고, 확률은 \(\tfrac{10}{30} = \tfrac{1}{3}\)이다.
두 사건 \(A\), \(B\)에 대하여 \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\] 특히 \(A\)와 \(B\)가 동시에 일어나지 않으면, 곧 \(A \cap B = \varnothing\)이면 \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)이다.
정리는 합집합의 원소의 개수 공식을 \(n(S)\)로 나눈 것이다. 동시에 일어나지 않는 두 사건을 서로 배반사건이라 하고, 이때만 확률을 그냥 더할 수 있다. 슬라이더로 \(a\)와 \(b\)를 바꾸어 겹치는 칸이 없게 할 수 있는지 시험해 보자. 1부터 30까지에서는 두 수의 최소공배수가 30보다 크면 겹치지 않는다.1
2.2.2예제 풀이
남학생 4명, 여학생 3명 가운데 2명을 뽑을 때, 2명이 모두 남학생이거나 모두 여학생일 확률을 구하여라. 또 \(P(A) = 0.5\), \(P(B) = 0.4\), \(P(A \cup B) = 0.7\)일 때 \(P(A \cap B)\)를 구하여라.
7명 가운데 2명을 뽑는 방법은 \({}_7\mathrm{C}_2 = 21\)가지이다. 모두 남학생인 경우는 \({}_4\mathrm{C}_2 = 6\)가지, 모두 여학생인 경우는 \({}_3\mathrm{C}_2 = 3\)가지이다. 두 사건은 동시에 일어날 수 없는 배반사건이므로 확률은 \(\dfrac{6}{21} + \dfrac{3}{21} = \dfrac{9}{21} = \dfrac{3}{7}\)이다.
두 번째 질문은 덧셈정리를 거꾸로 쓴다. \(0.7 = 0.5 + 0.4 - P(A \cap B)\)이므로 \(P(A \cap B) = 0.2\)이다.
두 확률의 합 0.9가 1보다 작더라도 두 사건이 겹칠 수 있다는 것을 이 예가 보여 준다. 겹치는지 아닌지는 확률의 크기가 아니라 두 사건이 동시에 일어날 수 있는지로 판단한다. 아래 탐구 카드에서 두 사건이 겹치는 부분을 직접 바꾸며 덧셈정리를 확인해 보자.
- 사건이 셋이면 \(P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(B \cap C) - P(C \cap A) + P(A \cap B \cap C)\)이다. 두 번씩 뺀 세 사건의 공통부분을 한 번 다시 더한다.
합사건의 확률은 두 확률을 더한 뒤, 두 번 세어진 곱사건의 확률을 한 번 빼서 구한다. 두 사건이 동시에 일어나지 않는 배반사건일 때만 그냥 더할 수 있다. 그래서 처음 질문의 '4의 배수 또는 6의 배수'의 확률은 \(\tfrac{12}{30}\)이 아니라 12의 배수 2개를 뺀 \(\tfrac{10}{30} = \tfrac{1}{3}\)이다.