여사건의 확률

한 반에 학생이 23명 있다. 생일이 같은 두 사람이 적어도 한 쌍 있을 확률은 얼마일까? 같은 쌍이 한 쌍인 경우, 두 쌍인 경우, 세 사람이 같은 경우 …를 모두 세려면 끝이 없다. 더 쉬운 길이 있을까?

사람 수 \(n\) =

2.3.1여사건

사건 \(A\)가 일어나지 않는 사건을 \(A\)의 여사건이라 하고 \(A^C\)로 쓴다. \(A\)와 \(A^C\)는 동시에 일어나지 않는 배반사건이고, 둘 가운데 하나는 반드시 일어난다. 그러면 덧셈정리에 따라 \(P(A) + P(A^C) = P(S) = 1\)이다.

'적어도 하나'가 붙은 사건은 경우가 여러 갈래로 나뉘지만, 그 여사건은 '하나도 없다'라는 한 가지 경우뿐이다. 그래서 여사건의 확률을 구해 1에서 빼는 쪽이 훨씬 쉽다.

2.3.2생일 문제

\(n\)명의 생일이 모두 다를 확률을 구하자. 첫째 사람은 아무 날이나 되고, 둘째 사람은 첫째와 다른 364일 가운데 하나여야 하며, 셋째는 남은 363일 가운데 하나여야 한다. 따라서 모두 다를 확률은 \[\frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \cdots \times \frac{365 - n + 1}{365} = \frac{{}_{365}\mathrm{P}_n}{365^n}\] 이다.

같은 생일이 적어도 한 쌍 있을 확률은 이것을 1에서 뺀 값이다. 그림 1의 슬라이더로 사람 수를 늘려 보면, 23명에서 약 0.507로 절반을 넘고, 40명이면 약 0.89, 60명이면 0.99를 넘는다. 365일에 비해 사람 수가 훨씬 적어도 확률이 이렇게 큰 까닭은, 비교할 '쌍'이 사람 수보다 훨씬 빨리 늘어나기 때문이다. 23명이면 쌍이 \({}_{23}\mathrm{C}_2 = 253\)개이다.¹

2.3.3예제 풀이

여사건은 '불량품이 하나도 없다', 곧 정상품 7개에서 3개를 모두 꺼내는 경우이다. 그 확률은 \(\dfrac{{}_7\mathrm{C}_3}{{}_{10}\mathrm{C}_3} = \dfrac{35}{120} = \dfrac{7}{24}\)이다.

따라서 불량품이 적어도 1개 섞일 확률은 \(1 - \dfrac{7}{24} = \dfrac{17}{24}\)이다.

직접 세어 확인해 보자. 불량품이 1개, 2개, 3개인 경우는 각각 \({}_3\mathrm{C}_1 \cdot {}_7\mathrm{C}_2 = 63\), \({}_3\mathrm{C}_2 \cdot {}_7\mathrm{C}_1 = 21\), \({}_3\mathrm{C}_3 = 1\)가지로 합이 85이고, \(\tfrac{85}{120} = \tfrac{17}{24}\)으로 같다. 세 경우를 셀 일을 한 경우로 줄인 셈이다. 아래 탐구 카드에서 사람 수를 바꾸며 생일 문제의 확률을 직접 확인해 보자.

1. 실제로는 생일이 날마다 고르게 퍼져 있지 않고 2월 29일도 있지만, 날마다 같은 가능성으로 본 계산과 실제 값의 차이는 아주 작다.