이항분포

자유투 성공률이 0.7인 선수가 10번 던진다. 성공 횟수는 0부터 10까지 어느 값이든 될 수 있지만, 7번 근처가 가장 흔할 것이다. 성공 횟수의 분포는 정확히 어떤 모양이고, 평균과 표준편차는 확률을 하나하나 계산하지 않고 바로 구할 수 있을까?

\(n\) =

\(p\) =

3.3.1이항분포

한 번의 시행에서 성공할 확률이 \(p\)인 시행을 \(n\)번 독립적으로 되풀이할 때, 성공 횟수를 \(X\)라 하자. 독립시행의 확률에 따라 \(X = r\)일 확률은 \(P(X = r) = {}_n\mathrm{C}_r\,p^r(1 - p)^{n-r}\)이다. 이 확률분포를 이항분포라 하고 \(\mathrm{B}(n, p)\)로 나타낸다. 확률을 모두 더하면 이항정리에 따라 \(\{p + (1 - p)\}^n = 1\)이 된다.

그림 1에서 \(n = 10\), \(p = 0.7\)이면 막대는 \(X = 7\)에서 가장 높다. \(p\)를 0.5로 바꾸면 좌우 대칭이 되고, 0.2로 바꾸면 왼쪽으로 쏠린다. \(n\)을 늘리면 막대가 많아지며 모양이 매끄러운 종에 가까워진다.

3.3.2평균과 표준편차

성공 횟수는 '한 번씩의 성공 여부'를 더한 것이다. \(i\)번째 시행에서 성공하면 1, 실패하면 0인 확률변수 \(X_i\)를 생각하면 \(X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n\)이다. 각 \(X_i\)의 평균은 \(1 \times p + 0 \times (1 - p) = p\)이므로, 합의 평균은 \(np\)이다. 분산도 각 \(X_i\)의 분산 \(p(1 - p)\)를 \(n\)개 더한 \(np(1 - p)\)이다.¹

3.3.3큰수의 법칙

성공 비율 \(\dfrac{X}{n}\)의 평균은 \(p\)이고 표준편차는 \(\dfrac{\sqrt{np(1 - p)}}{n} = \sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\)이다. \(n\)이 커지면 이 표준편차는 0에 가까워진다. 즉 시행 횟수를 늘릴수록 성공 비율은 \(p\) 근처에 점점 좁게 모인다. 이것이 큰수의 법칙이고, 통계적 확률이 수학적 확률에 다가가는 까닭이다.

3.3.4예제 풀이

\(X\)는 \(\mathrm{B}(10, 0.7)\)을 따르므로 평균은 \(10 \times 0.7 = 7\)번, 분산은 \(10 \times 0.7 \times 0.3 = 2.1\), 표준편차는 \(\sqrt{2.1} \approx 1.45\)번이다. 대체로 7번에서 1~2번 정도 벗어난다고 볼 수 있다.

성공 비율의 표준편차는 10번이면 \(\sqrt{\dfrac{0.21}{10}} \approx 0.145\), 100번이면 \(\sqrt{\dfrac{0.21}{100}} \approx 0.046\)이다. 던지는 횟수를 10배 늘리면 비율의 흔들림은 \(\sqrt{10} \approx 3.2\)분의 1로 준다.

한편 성공 횟수 자체의 표준편차는 100번이면 \(\sqrt{21} \approx 4.6\)번으로 오히려 커진다. 횟수는 더 크게 흔들리지만 전체에 대한 비율은 덜 흔들리는 것이다. 아래 탐구 카드에서 \(n\)과 \(p\)를 바꾸며 분포의 모양과 비율의 흔들림을 직접 확인해 보자.

1. 독립인 확률변수의 합의 분산은 각 분산의 합과 같다. 이 성질은 고등학교에서 증명하지 않지만, 두 개의 경우 \(V(X + Y) = V(X) + V(Y)\)를 확률분포표로 확인할 수 있다.