독립과 종속

주사위 두 개를 던질 때, 첫째 주사위가 6이라는 것을 알면 '두 눈의 합이 7'일 확률이 바뀔까? '두 눈의 합이 12'일 확률은 어떨까? 어떤 정보는 확률을 바꾸고 어떤 정보는 바꾸지 않는데, 이 차이를 어떻게 판단할까?

B의 왼쪽 끝

B의 아래쪽 끝

2.5.1독립의 뜻

'합이 7'인 경우는 36가지 가운데 6가지이므로 확률이 \(\tfrac{1}{6}\)이다. 첫째 눈이 6이라는 조건 아래에서는 6가지 경우 가운데 \((6, 1)\) 하나만 합이 7이므로 역시 \(\tfrac{1}{6}\)이다. 조건이 확률을 바꾸지 않았다. 반면 '합이 12'는 처음 \(\tfrac{1}{36}\)에서, 첫째 눈이 6이라는 조건 아래에서는 \(\tfrac{1}{6}\)으로 바뀐다.

이렇게 사건 \(A\)가 일어났다는 사실이 \(B\)의 확률을 바꾸지 않는 경우, 곧 \(P(B \mid A) = P(B)\)일 때 두 사건은 서로 독립이라 한다. 확률이 바뀌면 종속이라 한다.

조건부확률의 정의 \(P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\)에 \(P(B \mid A) = P(B)\)를 넣으면 이 식이 된다. 그림 1에서 \(B\)를 옮겨 보면, \(B\)가 정사각형의 위아래를 가득 채우는 세로띠일 때 \(A\) 안에서 차지하는 비율과 전체에서 차지하는 비율이 같아져 독립이 된다.

2.5.2독립과 배반은 다르다

배반사건은 동시에 일어나지 않는 사건이므로 \(P(A \cap B) = 0\)이다. 그런데 \(P(A)\), \(P(B)\)가 모두 양수이면 \(P(A)P(B) > 0\)이므로 독립일 수 없다. 오히려 \(A\)가 일어났다는 것을 알면 \(B\)는 절대 일어나지 않으므로, 배반사건은 강하게 종속된 사건이다.¹

2.5.3예제 풀이

\(P(A) = \tfrac{6}{12} = \tfrac{1}{2}\), \(P(B) = \tfrac{4}{12} = \tfrac{1}{3}\)이다. \(A \cap B\)는 6의 배수 \(\{6, 12\}\)이므로 \(P(A \cap B) = \tfrac{2}{12} = \tfrac{1}{6}\)이다. \(P(A)P(B) = \tfrac{1}{6}\)과 같으므로 \(A\)와 \(B\)는 독립이다. 3의 배수 가운데 짝수의 비율도 \(\tfrac{2}{4} = \tfrac{1}{2}\)로 전체의 비율과 같다.

\(P(C) = \tfrac{3}{12} = \tfrac{1}{4}\)이고, \(A \cap C\)는 4의 배수 전체 \(\{4, 8, 12\}\)이므로 \(P(A \cap C) = \tfrac{1}{4}\)이다. 그런데 \(P(A)P(C) = \tfrac{1}{8}\)이므로 같지 않아 종속이다. 4의 배수이면 반드시 짝수이니, \(C\)가 일어났다는 정보가 \(A\)의 확률을 \(\tfrac{1}{2}\)에서 1로 바꾼다.

독립인지는 직관보다 계산으로 확인해야 한다. 같은 '짝수'라도 3의 배수와는 독립이고 4의 배수와는 종속이었다. 아래 탐구 카드에서 두 사각형을 움직이며 독립이 되는 배치를 직접 찾아보자.

1. 두 사건이 독립이면 \(A\)와 \(B^C\), \(A^C\)와 \(B\), \(A^C\)와 \(B^C\)도 모두 독립이다. 가령 \(P(A \cap B^C) = P(A) - P(A)P(B) = P(A)P(B^C)\)이다.