확률변수와 확률분포

주사위 두 개를 던져 나온 눈의 합은 2부터 12까지의 값을 가지며, 그 가운데 7이 나올 확률이 \(6/36\)으로 가장 크다. 한편 10분 간격으로 오는 버스 정류장에 아무 때나 도착하면 기다리는 시간은 0분에서 10분 사이의 어떤 실수든 될 수 있다. 이때 2분에서 5분 사이를 기다릴 확률은 \(3/10\)인데, 정확히 3분을 기다릴 확률은 0이라고 한다. 확률이 0인 일이 실제로 일어나는 것은 이상하지 않을까? 두 경우에 확률을 나누어 주는 방법은 어떻게 다를까?

3.5.1값마다 확률을 나누어 주다

시행의 결과에 따라 값이 정해지는 변수를 확률변수라 한다. 주사위 두 개의 눈의 합 \(X\)는 2, 3, ⋯, 12처럼 셀 수 있는 값을 가지므로 이산확률변수이다. 이산확률변수는 각 값에 확률을 하나씩 나누어 주며, 그 확률을 모두 더하면 1이다. 눈의 합이 7이 되는 경우는 \((1, 6), (2, 5), \ldots, (6, 1)\)의 6가지이고, 2가 되는 경우는 \((1, 1)\) 하나뿐이다. 그래서 \(P(X = 7) = 6/36\), \(P(X = 2) = 1/36\)이고, 확률분포는 7을 가운데로 한 삼각형 모양이 된다.

기다리는 시간 \(X\)는 0에서 10 사이의 모든 실수를 가질 수 있어서 값을 하나씩 셀 수 없다. 이런 연속확률변수는 값마다 확률을 주는 대신, 구간마다 확률을 주며 그 확률은 밀도 곡선 아래의 넓이이다. 버스가 10분마다 오고 아무 때나 도착하면 모든 시각이 똑같이 그럴듯하므로 밀도는 \(f(x) = 1/10\)로 일정하다. 그래서 2분에서 5분 사이를 기다릴 확률은 가로 3, 세로 \(1/10\)인 직사각형의 넓이 \(3/10\)이다. 한 점 \(x = 3\)은 폭이 0인 구간이어서 넓이가 0이고, 확률도 0이다.¹

3.5.2확률 0과 일어날 수 없음

정확히 3분을 기다릴 확률이 0이라는 것은 그런 일이 불가능하다는 뜻이 아니다. 시계로 0.1초까지 재면 3.0초 근처 폭 0.1초의 구간에 들 확률은 \(0.1/600\)처럼 아주 작은 양수가 된다. 재는 폭을 좁힐수록 그 확률은 0에 가까워지고, 폭이 0인 극한에서 0이 된다. 그래서 연속확률변수에서는 한 점의 확률이 아니라 구간의 확률을 묻고, \(P(a \le X \le b)\)와 \(P(a < X < b)\)가 같다. 히스토그램의 막대 높이를 상대도수 대신 상대도수를 계급의 폭으로 나눈 값으로 그리면, 계급을 좁힐수록 막대들이 밀도 곡선에 가까워진다.

3.5.3예제 풀이

눈의 합이 10, 11, 12가 되는 경우는 각각 3, 2, 1가지이므로 \(P(X \ge 10) = 6/36 = 1/6\)이다. 버스를 7분보다 오래 기다릴 확률은 가로 3, 세로 \(1/10\)인 직사각형의 넓이로 \(3/10\)이고, 정확히 7분일 확률은 0이다.

평균은 \(\int_0^{10}y\cdot\dfrac{1}{10}\,dy = \dfrac{1}{10}\left[\dfrac{y^2}{2}\right]_0^{10} = 5\)분으로, 구간의 가운데이다. 그래서 아무 때나 정류장에 가면 평균 5분을 기다린다. 즉 셀 수 있는 값을 갖는 확률변수는 값마다 확률을 나누어 주고, 연속인 값을 갖는 확률변수는 밀도 곡선 아래의 넓이로 구간에 확률을 주므로 한 점의 확률은 0이 된다.

아래 탐구 카드에서 두 주사위를 던져 눈의 합의 분포를 만들고, 기다리는 시간의 히스토그램이 계급을 좁힐수록 밀도 곡선에 가까워지는 것을 확인해 보자.

1. 실제 버스는 정확히 10분마다 오지 않고 몰려오기도 한다. 그러면 긴 배차 간격에 도착할 가능성이 더 커서, 평균 배차 간격의 절반보다 오래 기다리게 된다. 이를 기다림의 역설이라 한다.