지수함수와 로그함수

어떤 세균은 1시간마다 두 배로 늘어난다. 처음 1마리였다면 \(x\)시간 뒤에는 \(2^x\)마리이다. 거꾸로, 세균이 \(y\)마리가 되기까지 걸린 시간은 얼마일까? '시간에서 개수로'와 '개수에서 시간으로'는 서로 어떤 관계의 함수일까?

밑 \(a\) =

1.6.1지수함수

실수 \(x\)마다 \(a^x\)를 대응시키면 함수가 된다. \(a > 0\), \(a \ne 1\)일 때 \(y = a^x\)를 \(a\)를 밑으로 하는 지수함수라 한다. 정의역은 실수 전체이고, \(a^x\)는 언제나 양수이므로 치역은 양의 실수 전체이다.

밑에 조건을 붙이는 까닭은 앞에서 본 것과 같다. 밑이 음수이면 \(x = \tfrac{1}{2}\) 같은 곳에서 값이 정해지지 않아 함수가 되지 못하고, 밑이 1이면 \(y = 1\)인 상수함수가 되어 따로 다룰 필요가 없다.

밑이 음수일 때를 조금 더 들여다보자. \(y = (-2)^x\)를 정수 \(x\)에서만 찍으면 \(x = 1, 2, 3, 4\)에서 \(-2, 4, -8, 16\)으로 부호가 번갈아 바뀌어 점들이 \(x\)축 위아래를 오간다. 이 점들을 매끄러운 곡선으로 이으려면 그 사이 어디선가 \(x\)축을 건너야 하는데, 그 사이의 \(x = \tfrac{1}{2}\)에서는 제곱해서 \(-2\)가 되는 실수가 없다. 수직선 위아래만 오가는 그래프로는 이 점들을 이을 수 없고, 복소수까지 넓히면 점이 빙글빙글 돌며 크기가 커지는 길로 이어진다는 것이 알려져 있다. 고등학교에서 다루는 지수함수는 이런 일이 없는 양수 밑으로 한정한다.

1.6.2지수함수의 화살표를 거꾸로

\(a > 1\)이면 \(y = a^x\)는 \(x\)가 커질수록 계속 커지고, \(0 < a < 1\)이면 계속 작아진다. 어느 쪽이든 서로 다른 \(x\)는 서로 다른 \(y\)로 가고, 모든 양수 \(y\)가 한 번씩 나온다. 즉 실수 전체에서 양의 실수 전체로의 일대일대응이다. 그래서 역함수가 있다.

역함수는 \(x\)와 \(y\)를 맞바꾸어 얻으므로, 로그함수의 그래프는 지수함수의 그래프를 직선 \(y = x\)에 대칭이동한 것이다. 그림 1에서 밑을 바꾸어 보자. 지수함수의 그래프가 점 \((0, 1)\)을 지나면 로그함수는 점 \((1, 0)\)을 지나고, 지수함수가 \(x\)축에 다가가면 로그함수는 \(y\)축에 다가간다.¹

1.6.3예제 풀이

\(y = 2^x\)를 \(x\)에 대해 풀면 \(x = \log_2 y\)이다. 즉 시간은 세균 수의 로그함수이다. 1000마리가 되는 시간은 \(\log_2 1000 = \dfrac{\log 1000}{\log 2} = \dfrac{3}{0.3010} \approx 9.97\), 곧 약 10시간이다.

\(g(81) = \log_3 81 = 4\)이므로 \(f(g(81)) = 3^4 = 81\)이다. \(f(-2) = 3^{-2} = \tfrac{1}{9}\)이므로 \(g(f(-2)) = \log_3 \tfrac{1}{9} = -2\)이다. 두 결과 모두 처음 값으로 돌아왔는데, 서로 역함수인 두 함수를 합성하면 항등함수가 되기 때문이다.

세균이 1마리에서 1000마리로 늘어나는 데 10시간이면, 100만 마리가 되는 데는 그 두 배인 약 20시간이면 된다. 개수가 곱으로 늘어날 때 시간은 더하기로 늘어나는 것이 로그함수의 성질이다. 아래 탐구 카드에서 밑을 바꾸며 두 그래프가 어떻게 함께 움직이는지 직접 확인해 보자.

1. 밑이 \(e \approx 2.718\)인 지수함수와 로그함수는 미적분에서 특히 자주 쓰인다. 이 로그를 자연로그라 하고 \(\ln x\)로 쓴다.