지수함수와 로그함수의 그래프
본문\(y = 2^x\)와 \(y = \left(\tfrac{1}{2}\right)^x\)는 하나는 올라가고 하나는 내려간다. \(y = 2^{x-1} + 3\)은 \(y = 2^x\)를 어떻게 옮긴 것일까? 그래프를 그리지 않고도 점근선, 지나는 점, 증가와 감소를 식에서 바로 읽을 수 있을까?
1.7.1\(y = a^x\)의 그래프
\(y = a^x\)의 그래프는 밑이 무엇이든 \(a^0 = 1\)이므로 점 \((0, 1)\)을 지난다. 또 \(a^x\)는 언제나 양수이므로 그래프는 \(x\)축 위에만 있고, \(x\)축에 한없이 가까워진다. 즉 \(x\)축이 점근선이다.
\(a > 1\)이면 \(x\)가 커질수록 \(y\)가 커지는 증가함수이고, \(0 < a < 1\)이면 감소함수이다. \(\left(\tfrac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}\)이므로, \(y = \left(\tfrac{1}{2}\right)^x\)의 그래프는 \(y = 2^x\)를 \(y\)축에 대칭이동한 것이다.
\(y = a^x\)는 점 \((0, 1)\)을 지나고 \(x\)축이 점근선이다. \(y = \log_a x\)는 점 \((1, 0)\)을 지나고 \(y\)축이 점근선이다. 둘 다 \(a > 1\)이면 증가함수, \(0 < a < 1\)이면 감소함수이며, 두 그래프는 직선 \(y = x\)에 대칭이다.
1.7.2평행이동과 대칭이동
\(y = a^{x-p} + q\)는 \(y = a^x\)를 \(x\)축 방향으로 \(p\), \(y\)축 방향으로 \(q\)만큼 평행이동한 것이다. 점 \((0, 1)\)은 \((p, 1 + q)\)로, 점근선 \(y = 0\)은 \(y = q\)로 옮겨 간다. 그림 1의 슬라이더로 \(p\)와 \(q\)를 바꾸면 그래프 전체와 점근선이 함께 움직인다.
로그함수도 마찬가지이다. \(y = \log_a (x - p) + q\)는 \(y = \log_a x\)를 평행이동한 것이고, 점근선은 \(x = p\)로 옮겨 간다. 정의역은 진수가 양수인 \(x > p\)이다.1
1.7.3예제 풀이
\(y = 2^{x-1} + 3\)의 점근선과 \(y\)절편을 구하고, \(-1 \le x \le 3\)에서의 최댓값과 최솟값을 구하여라. 또 이 함수의 역함수를 구하여라.
\(y = 2^x\)를 오른쪽으로 1, 위로 3 옮긴 것이므로 점근선은 \(y = 3\)이다. \(x = 0\)을 넣으면 \(y = 2^{-1} + 3 = 3.5\)이므로 \(y\)절편은 3.5이다.
밑이 2로 1보다 크므로 증가함수이고, 범위의 양 끝에서 최솟값과 최댓값이 나온다. \(x = -1\)에서 \(2^{-2} + 3 = 3.25\)가 최솟값, \(x = 3\)에서 \(2^2 + 3 = 7\)이 최댓값이다.
역함수는 \(y - 3 = 2^{x-1}\)을 \(x\)에 대해 풀어 \(x - 1 = \log_2 (y - 3)\), 곧 \(x = \log_2 (y - 3) + 1\)이다. \(x\)와 \(y\)를 바꾸면 \(y = \log_2 (x - 3) + 1\)이고, 점근선은 \(x = 3\)이다. 원래 함수의 점근선 \(y = 3\)이 \(y = x\)에 대칭이동되어 \(x = 3\)이 된 것이다. 아래 탐구 카드에서 밑과 이동을 바꾸며 그래프를 직접 맞추어 보자.
- 밑이 1보다 큰 두 지수함수 \(y = 2^x\)와 \(y = 3^x\)를 비교하면, \(x > 0\)에서는 밑이 큰 \(3^x\)가 위에, \(x < 0\)에서는 아래에 있다. 두 그래프는 점 \((0, 1)\)에서만 만난다.
지수함수의 그래프는 점 \((0, 1)\)을 지나고 \(x\)축을 점근선으로 가지며, 밑이 1보다 크면 증가, 작으면 감소한다. 로그함수의 그래프는 이것을 \(y = x\)에 대칭이동한 모양이고, 평행이동하면 지나는 점과 점근선이 함께 옮겨 간다. 그래서 처음 질문의 \(y = 2^{x-1} + 3\)은 \(y = 2^x\)를 오른쪽으로 1, 위로 3 옮긴 그래프로, 점근선은 \(y = 3\)이다.