대칭이동
본문집 \(A(1, 3)\)에서 출발해 \(x\)축인 강가에 들러 물을 긷고 학교 \(B(5, 1)\)로 가려 한다. 강가의 어느 지점에 들러야 가장 짧게 걸을 수 있을까? 거울에 비친 점을 쓰면 이 문제가 직선 하나로 바뀐다는데, 어떻게 그럴까?
1.7.1축과 원점에 대한 대칭
점 \((1, 3)\)을 \(x\)축을 거울 삼아 비추면 \(x\)좌표는 그대로이고 \(y\)좌표만 부호가 바뀐 \((1, -3)\)이 된다. 이렇게 한 점이나 직선을 기준으로 뒤집어 옮기는 것을 대칭이동이라 한다. 기준이 \(y\)축이면 \(x\)좌표의 부호가, 원점이면 두 좌표의 부호가 모두 바뀐다.
직선 \(y = x\)에 대한 대칭은 조금 다르다. 점 \((1, 3)\)을 이 직선에 비추면 \((3, 1)\)이 된다. 두 점의 중점 \((2, 2)\)가 직선 \(y = x\) 위에 있고, 두 점을 잇는 선분의 기울기가 \(-1\)이라 직선에 수직이기 때문이다. 즉 \(y = x\)에 대한 대칭은 \(x\)좌표와 \(y\)좌표를 맞바꾼다.
| 기준 | 점 \((x, y)\)가 옮겨 가는 곳 | 도형 \(f(x, y) = 0\)의 새 방정식 |
|---|---|---|
| \(x\)축 | \((x, -y)\) | \(f(x, -y) = 0\) |
| \(y\)축 | \((-x, y)\) | \(f(-x, y) = 0\) |
| 원점 | \((-x, -y)\) | \(f(-x, -y) = 0\) |
| 직선 \(y = x\) | \((y, x)\) | \(f(y, x) = 0\) |
도형의 방정식은 평행이동에서처럼 새 점을 되돌려 원래 식에 넣어 얻는다. 그런데 대칭이동은 두 번 하면 제자리로 돌아오므로, 되돌리는 것과 옮기는 것이 같은 일이다. 그래서 점의 규칙과 식의 규칙이 똑같은 꼴이 된다.1
1.7.2대칭을 이용한 가장 짧은 길
이제 처음 질문으로 가자. 강가의 점을 \(P\)라 하면 걷는 길이는 \(AP + PB\)이다. \(A\)를 \(x\)축에 대칭이동한 점 \(A'(1, -3)\)을 잡으면, \(x\)축은 선분 \(AA'\)의 수직이등분선이므로 \(AP = A'P\)이다. 따라서 \(AP + PB = A'P + PB\)이다.
\(A'\)에서 \(P\)를 거쳐 \(B\)로 가는 길은 \(P\)가 선분 \(A'B\) 위에 있을 때 곧은 선분이 되어 가장 짧다. 그림 1의 슬라이더를 움직이면, 길이가 가장 작아지는 순간 \(A'\), \(P\), \(B\)가 한 직선 위에 놓인다.
1.7.3예제 풀이
처음 질문에서 걷는 길이가 가장 짧아지는 강가의 점 \(P\)와 그때의 길이를 구하여라.
\(A'(1, -3)\)과 \(B(5, 1)\)을 지나는 직선의 기울기는 \(\dfrac{1 - (-3)}{5 - 1} = 1\)이므로 직선은 \(y = x - 4\)이다. 이 직선이 \(x\)축과 만나는 점은 \(y = 0\)에서 \(x = 4\)이므로 \(P(4, 0)\)이다.
가장 짧은 길이는 \(A'B = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}\)이다. 확인해 보자. \(AP = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}\), \(PB = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)이므로 합은 \(4\sqrt{2}\)로 같다.
\(P(4, 0)\)에서 \(A\)로 가는 선분과 \(B\)로 가는 선분이 \(x\)축과 이루는 각도 같다. 빛이 거울에서 반사할 때 들어오는 각과 나가는 각이 같은 것과 같은 모습이다. 아래 탐구 카드에서 점과 그래프를 여러 기준으로 비추어 보고, 가장 짧은 길을 직접 찾아보자.
- 직선 \(y = -x\)에 대한 대칭이동은 \((x, y) \to (-y, -x)\)이고, 도형의 방정식은 \(f(-y, -x) = 0\)이다. 점 \((a, b)\)에 대한 대칭이동은 \((x, y) \to (2a - x, 2b - y)\)이다.
대칭이동은 기준에 따라 좌표의 부호를 바꾸거나 두 좌표를 맞바꾸며, 두 번 하면 제자리로 오므로 점의 규칙을 그대로 도형의 방정식에 쓸 수 있다. 처음 질문은 \(A\)를 \(x\)축에 비춘 \(A'\)과 \(B\)를 곧게 이어 풀리고, 강가의 \(P(4, 0)\)에 들르면 길이가 \(4\sqrt{2}\)로 가장 짧다.