지수함수와 로그함수의 활용

탄소-14는 5730년마다 양이 절반으로 줄어든다. 어떤 나무 화석에 남은 탄소-14가 처음의 \(\tfrac{1}{4}\)이면 약 11 460년이 지난 것이다. 그런데 처음의 30%가 남았다면 몇 년이 지난 것일까? 지수가 미지수인 방정식은 어떻게 풀까?

남은 비율(%)

1.8.1지수방정식

지수에 미지수가 있는 방정식을 지수방정식이라 한다. 지수함수는 일대일대응이므로 \(a^{f(x)} = a^{g(x)}\)이면 \(f(x) = g(x)\)이다. 따라서 양변의 밑을 같게 만들면 지수끼리 비교하는 방정식이 된다. 가령 \(4^x = 8\)은 \(2^{2x} = 2^3\)이므로 \(x = \tfrac{3}{2}\)이다.

밑을 같게 만들 수 없을 때는 양변에 로그를 취한다. \(2^x = 5\)이면 \(x = \log_2 5\)이고, 상용로그로 \(x = \dfrac{\log 5}{\log 2}\)처럼 계산한다. 또 \(4^x - 2^{x+1} - 8 = 0\)처럼 \(2^x\)가 여러 번 나오면 \(2^x = t\ (t > 0)\)로 두어 이차방정식으로 바꾼다.

1.8.2지수부등식과 부등호의 방향

부등식에서는 밑이 1보다 큰지 작은지가 중요하다. \(a > 1\)이면 지수함수가 증가하므로 \(a^{f(x)} < a^{g(x)} \iff f(x) < g(x)\)이다. 그런데 \(0 < a < 1\)이면 감소함수이므로 부등호의 방향이 바뀐다.

로그부등식에서는 진수가 양수라는 조건을 함께 챙겨야 한다. \(\log_2 (x - 1) < 3\)은 \(x - 1 < 8\)뿐 아니라 \(x - 1 > 0\)도 만족해야 하므로 해는 \(1 < x < 9\)이다.¹

1.8.3예제 풀이

지난 시간을 \(t\)년이라 하면 \(\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/5730} = 0.3\)이다. 양변에 상용로그를 취하면 \(-\dfrac{t}{5730}\log 2 = \log 0.3 = \log 3 - 1 = -0.5229\)이다. 따라서 \(t = 5730 \times \dfrac{0.5229}{0.3010} \approx 9954\), 곧 약 1만 년 전의 것이다. 남은 양이 \(\tfrac{1}{2}\)과 \(\tfrac{1}{4}\) 사이이므로, 반감기 한 번과 두 번 사이라는 그림 2의 짐작과도 맞는다.

복리 예금은 \(n\)년 뒤 원금의 \(1.05^n\)배가 되므로 \(1.05^n \ge 2\)를 풀어야 한다. 양변에 상용로그를 취하면 밑 10이 1보다 크므로 부등호 방향은 그대로이고, \(0.0212n \ge 0.3010\)이다. 따라서 \(n \ge 14.2\)이고, 최소 15년이 걸린다.

두 문제 모두 '몇 번 곱해야 하는가'를 묻는 문제였고, 로그가 그 횟수를 계산해 주었다. 아래 탐구 카드에서 부등호의 방향이 바뀌는 경우와 반감기 계산을 직접 해 보자.

1. 밑이 1보다 작은 로그부등식, 가령 \(\log_{1/2} x > -2\)는 \(0 < x < \left(\tfrac{1}{2}\right)^{-2} = 4\)이다. 감소함수이므로 진수의 부등호가 반대가 된다.