부피
본문식빵 한 덩이의 부피를 재고 싶다면, 얇게 썰어 각 조각의 넓이에 두께를 곱해 더하면 된다. 조각을 얇게 썰수록 어림이 정확해진다. 이 생각을 끝까지 밀고 가면, 곡선을 축 둘레로 돌려 만든 그릇이나 꽃병처럼 공식이 없는 입체의 부피도 구할 수 있지 않을까?
3.6.1단면의 넓이로 부피 구하기
입체를 \(x\)축에 수직인 평면으로 자를 때, 위치 \(x\)에서 단면의 넓이가 \(S(x)\)라 하자. 두께 \(\Delta x\)인 얇은 조각의 부피는 거의 \(S(x)\Delta x\)이다. 그래서 이 조각들을 모두 더하고 두께를 한없이 얇게 하면, 구분구적법에 의해 부피는 정적분이 된다.
구간 \([a, b]\)에서 \(x\)축에 수직인 단면의 넓이가 \(S(x)\)인 입체의 부피는 \[V = \int_a^b S(x)\,dx\] 이다. 곡선 \(y = f(x)\)를 \(x\)축 둘레로 회전시킨 입체는 단면이 반지름 \(|f(x)|\)인 원이므로 \(V = \int_a^b \pi\{f(x)\}^2\,dx\)이다.
\(y = \sqrt{x}\)를 \(x\)축 둘레로 돌리면 단면은 반지름 \(\sqrt{x}\)인 원이고 넓이는 \(\pi x\)이다. 따라서 부피는 \(\int_0^4 \pi x\,dx = \pi \cdot \dfrac{16}{2} = 8\pi\)이다. 그림 1에서 원판의 수를 늘리면 계단 모양의 원판 더미가 매끈한 입체에 다가가고, 부피의 합이 \(8\pi \approx 25.13\)에 가까워진다.
3.6.2카발리에리의 원리
부피가 단면의 넓이만으로 정해진다는 것은, 단면의 넓이가 같으면 모양이 달라도 부피가 같다는 뜻이다. 동전 더미를 비스듬히 밀어도 부피가 그대로인 것과 같다. 이를 카발리에리의 원리라 한다. 중학교에서 배운 뿔의 부피 \(\dfrac{1}{3}Sh\)도 이 방법으로 증명할 수 있다.1
3.6.3예제 풀이
반지름 \(r\)인 구의 부피가 \(\dfrac{4}{3}\pi r^3\)임을 적분으로 보여라.
구는 반원 \(y = \sqrt{r^2 - x^2}\) (\(-r \le x \le r\))을 \(x\)축 둘레로 돌린 입체이다. 위치 \(x\)에서 단면은 반지름 \(\sqrt{r^2 - x^2}\)인 원이므로 넓이는 \(\pi(r^2 - x^2)\)이다.
\[V = \int_{-r}^{r} \pi(r^2 - x^2)\,dx = \pi\left[r^2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-r}^{r} = \pi\left(\frac{2r^3}{3} + \frac{2r^3}{3}\right) = \frac{4}{3}\pi r^3\] 이다. 즉 중학교에서 외웠던 공식을 단면을 쌓는 생각만으로 이끌어 낸 것이다. 같은 방법으로 원뿔의 단면 넓이 \(\pi\left(\frac{rx}{h}\right)^2\)을 적분하면 \(\dfrac{1}{3}\pi r^2h\)를 얻는다.
아래 탐구 카드에서 얇은 조각을 모아 부피를 구하고, 입체를 비스듬히 밀어도 부피가 같은지 확인해 보자.
- 아르키메데스는 구, 원기둥, 원뿔의 단면 넓이를 비교하여 구의 부피가 외접하는 원기둥 부피의 \(\dfrac{2}{3}\)임을 알아냈다. 그는 이 결과를 가장 자랑스러워하여 묘비에 새기게 했다고 전해진다.
입체의 부피는 단면의 넓이 \(S(x)\)를 적분한 \(\int_a^b S(x)dx\)이며, 곡선을 \(x\)축 둘레로 돌린 입체는 \(\int_a^b \pi\{f(x)\}^2dx\)이다. 단면의 넓이가 같으면 모양이 달라도 부피가 같다. 그래서 처음 질문처럼 얇게 썬 조각의 부피를 모으면, 공식이 없는 입체의 부피도 정적분으로 정확히 구할 수 있다.