회전체의 부피와 겉넓이

곡선 \(y = 1/x\)의 \(x \ge 1\)인 부분을 \(x\)축 둘레로 돌리면 끝없이 가늘어지며 뻗는 나팔 모양이 생긴다. 이 나팔의 부피를 계산하면 \(\pi\)로 유한한데, 겉넓이를 계산하면 무한대가 나온다. 그렇다면 나팔에 페인트 \(\pi\) 리터를 부어 안을 가득 채울 수는 있지만, 겉면을 칠하는 데는 끝없이 많은 페인트가 필요하다는 뜻일까? 회전체의 부피와 겉넓이는 어떻게 구하고, 왜 이런 일이 생길까?

1.6.1원판을 쌓아 부피를, 띠를 이어 겉넓이를

곡선 \(y = f(x)\)를 \(x\)축 둘레로 돌린 입체를 \(x\)축에 수직으로 얇게 자르면, 단면은 반지름 \(f(x)\)인 원판이다. 두께 \(\Delta x\)인 원판의 부피 \(\pi f(x)^2\Delta x\)를 모두 더하고 극한을 취하면 부피가 된다. 겉넓이는 원판의 옆면을 이은 띠로 구하는데, 띠의 폭은 \(\Delta x\)가 아니라 곡선을 따라 잰 길이 \(\sqrt{1 + f'(x)^2}\,\Delta x\)이다. 반지름 \(f(x)\)인 띠의 넓이는 둘레 \(2\pi f(x)\)에 폭을 곱한 것이다. 폭을 \(\Delta x\)로 쓰면 곡선이 기울어진 만큼 넓이가 빠져서 틀린 값이 나온다.

반지름 \(r\)인 구는 \(f(x) = \sqrt{r^2 - x^2}\)를 \(-r\)부터 \(r\)까지 돌린 것이다. 부피는 \(\pi\int_{-r}^{r}(r^2 - x^2)\,dx = \tfrac43\pi r^3\)이다. 겉넓이에서는 \(f' = -x/f\)이므로 \(f\sqrt{1 + f'^2} = \sqrt{f^2 + x^2} = r\)로 일정해, \(S = 2\pi\int_{-r}^{r}r\,dx = 4\pi r^2\)이다. 피적분함수가 상수라는 것은 같은 두께로 자른 구의 띠들이 높이와 상관없이 모두 같은 넓이라는 뜻이다.¹

1.6.2부피와 겉넓이가 다르게 줄어들 때

가브리엘의 나팔에서 부피의 피적분함수는 \(\pi/x^2\)이고, 겉넓이의 피적분함수는 \(2\pi\cdot\dfrac1x\sqrt{1 + 1/x^4}\)으로 \(2\pi/x\)보다 크다. 이상적분에서 \(1/x^2\)은 수렴하고 \(1/x\)은 발산하므로, 부피는 유한하고 겉넓이는 무한하다. 반지름이 \(1/x\)로 줄면 단면의 넓이는 그 제곱인 \(1/x^2\)으로 빨리 줄지만, 둘레는 \(1/x\)로만 줄기 때문이다. 그래서 차원이 하나 낮은 겉넓이가 더 느리게 줄어 끝없이 쌓인다.

1.6.3예제 풀이

부피는 \(\pi\int_1^\infty\dfrac{dx}{x^2} = \pi\lim_{b\to\infty}\left(1 - \dfrac1b\right) = \pi\)이다. 겉넓이는 \(\sqrt{1 + 1/x^4} > 1\)이므로 \(S > 2\pi\int_1^\infty\dfrac{dx}{x} = 2\pi\lim_{b\to\infty}\ln b = \infty\)로 발산한다.

나팔을 페인트로 채우면 안쪽 벽은 모두 페인트에 닿는다. 그러나 수학의 나팔은 벽의 두께가 0이고 끝으로 갈수록 반지름이 0에 가까워져, 페인트 층의 두께도 그만큼 얇아진다. 겉면을 일정한 두께로 칠하려면 끝없이 많은 페인트가 필요하지만, 채울 때의 페인트는 끝으로 갈수록 원자보다 얇은 층이 된다. 그래서 역설은 넓이와 부피라는 서로 다른 양을 페인트의 양 하나로 비교한 데서 생긴다. 즉 회전체의 부피는 단면의 넓이를, 겉넓이는 둘레와 곡선의 길이를 적분하므로, 둘이 무한대 쪽에서 줄어드는 빠르기가 달라 수렴 여부가 갈릴 수 있다.

아래 탐구 카드에서 정확히 1 L가 들어가는 꽃병을 회전체로 설계하고, 구의 겉넓이를 띠로 어림해 보고, 가브리엘의 나팔을 계산해 보자.

1. 구의 띠의 넓이가 높이에만 비례한다는 사실은 기원전 3세기 아르키메데스가 이미 알았다. 그는 구의 겉넓이가 그 구를 꼭 감싸는 원기둥 옆넓이와 같다는 것을 가장 자랑스러워해, 자기 묘비에 구와 원기둥을 새겨 달라고 했다.