속도와 거리

자동차의 속도계 기록만 남아 있다고 하자. 그 기록으로 자동차가 처음 위치에서 얼마나 떨어진 곳에 있는지, 그리고 실제로 얼마나 먼 길을 달렸는지 알 수 있을까? 앞으로 갔다가 후진했다면 두 값은 다를 것이다. 또 평면 위를 구불구불 움직인 점이 지나간 길의 길이는 어떻게 구할까?

시각 \(T\)

3.7.1직선 위의 운동

수직선 위를 움직이는 점의 속도가 \(v(t)\)이면 위치 \(x(t)\)는 \(v(t)\)의 원시함수이다. 따라서 시각 \(a\)에서 \(b\)까지 위치의 변화는 \(\int_a^b v(t)\,dt\)이다. 그런데 속도가 음수인 동안은 뒤로 가므로, 이 값은 실제로 움직인 거리보다 작을 수 있다. 움직인 거리는 앞으로 간 것과 뒤로 간 것을 모두 더해야 한다.

그림 1에서 \(T\)를 3으로 맞추어 보자. 위치의 변화는 \(\int_0^3 (t^2 - 4t + 3)\,dt = 9 - 18 + 9 = 0\)으로, 처음 자리로 돌아왔다. 그러나 \(0 \le t \le 1\)에서 \(\dfrac{4}{3}\)만큼 앞으로 갔다가 \(1 \le t \le 3\)에서 \(\dfrac{4}{3}\)만큼 뒤로 왔으므로 움직인 거리는 \(\dfrac{8}{3}\)이다.

3.7.2평면 위의 운동과 곡선의 길이

평면 위를 움직이는 점의 속도가 \(\left(\dfrac{dx}{dt}, \dfrac{dy}{dt}\right)\)이면 아주 짧은 시간 \(\Delta t\) 동안 움직인 거리는 피타고라스 정리로 \(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} \approx |\vec v|\,\Delta t\)이다. 이를 모두 더하면 움직인 거리가 된다.

3.7.3예제 풀이

\(\dfrac{dx}{dt} = 2t\), \(\dfrac{dy}{dt} = 2t^2\)이므로 속력은 \(\sqrt{4t^2 + 4t^4} = 2t\sqrt{1 + t^2}\)이다 (\(t \ge 0\)).

움직인 거리는 \(\int_0^{\sqrt{3}} 2t\sqrt{1 + t^2}\,dt\)이다. \(u = 1 + t^2\)으로 치환하면 \(du = 2t\,dt\)이고 \(u: 1 \to 4\)이므로 \(\int_1^4 \sqrt{u}\,du = \left[\dfrac{2}{3}u^{3/2}\right]_1^4 = \dfrac{2}{3}(8 - 1) = \dfrac{14}{3}\)이다. 같은 시간 동안 출발점에서 도착점까지의 직선거리는 \(\sqrt{3^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{21} \approx 4.58\)로, 움직인 거리 \(\dfrac{14}{3} \approx 4.67\)보다 조금 짧다.

아래 탐구 카드에서 속도 그래프로 움직인 거리를 구하고, 평면 위를 움직인 점의 경로 길이를 직접 계산해 보자.

1. 곡선의 길이 공식은 대부분 근을 포함한 적분이 되어 정확한 값을 구하기 어렵다. 그래서 실제로는 컴퓨터로 짧은 선분의 길이를 더해 어림하는 경우가 많다.