넓이
본문포물선 \(y = x^2\)과 직선 \(y = 2x\)는 원점과 점 \((2, 4)\)에서 만나 렌즈 모양의 영역을 만든다. 이 영역의 넓이는 어떻게 구할까? 또 \(y = \ln x\)처럼 \(x\)로 적분하기 불편한 곡선은 가로로 잘라서 \(y\)로 적분할 수도 있을까?
3.5.1두 곡선 사이의 넓이
구간 \([a, b]\)에서 \(f(x) \ge g(x)\)이면 두 곡선 사이에 세로로 가는 막대를 세울 수 있다. 막대의 높이는 \(f(x) - g(x)\), 폭은 \(dx\)이므로 넓이는 이 막대들을 모두 더한 정적분이다.
\[S = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx\] 두 곡선이 구간 안에서 엇갈리면 교점에서 구간을 나누어 위아래를 바꾸어 계산한다.
\(y = x^2\)과 \(y = ax\)의 교점은 \(x^2 = ax\)에서 \(x = 0, a\)이고, 그 사이에서 직선이 위에 있다. 넓이는 \(\int_0^a (ax - x^2)\,dx = \dfrac{a^3}{2} - \dfrac{a^3}{3} = \dfrac{a^3}{6}\)이다. 처음 질문처럼 \(a = 2\)이면 \(\dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}\)이다. 그림 1에서 \(a\)를 두 배로 키우면 넓이는 8배가 된다.1
3.5.2가로로 자르기
곡선이 \(x = h(y)\) 꼴로 주어지거나 역함수가 다루기 쉬우면, 영역을 가로로 잘라 \(y\)에 대해 적분하는 것이 편하다. 곡선 \(x = h(y)\)와 \(y\)축, 두 직선 \(y = c\), \(y = d\)로 둘러싸인 넓이는 \(\int_c^d |h(y)|\,dy\)이다.
예를 들어 \(y = \ln x\)와 \(x\)축, 직선 \(x = e\)로 둘러싸인 넓이는 세로로 자르면 \(\int_1^e \ln x\,dx\)로 부분적분이 필요하다. 가로로 자르면 \(x = e^y\)이므로, 높이 \(y\)에서 막대의 길이는 \(e - e^y\)이고 넓이는 \(\int_0^1 (e - e^y)\,dy = e - (e - 1) = 1\)로 간단하다.
3.5.3예제 풀이
두 곡선 \(y = \sin x\)와 \(y = \cos x\), 그리고 두 직선 \(x = 0\), \(x = \pi\)로 둘러싸인 넓이를 구하여라.
두 곡선은 \(\sin x = \cos x\)에서 \(x = \dfrac{\pi}{4}\)에서 엇갈린다. \(0 \le x \le \dfrac{\pi}{4}\)에서는 \(\cos x \ge \sin x\), \(\dfrac{\pi}{4} \le x \le \pi\)에서는 \(\sin x \ge \cos x\)이다.
\[S = \int_0^{\pi/4} (\cos x - \sin x)\,dx + \int_{\pi/4}^{\pi} (\sin x - \cos x)\,dx\] 첫째 적분은 \(\Big[\sin x + \cos x\Big]_0^{\pi/4} = \sqrt{2} - 1\), 둘째 적분은 \(\Big[-\cos x - \sin x\Big]_{\pi/4}^{\pi} = 1 + \sqrt{2}\)이다. 넓이는 \(2\sqrt{2} \approx 2.83\)이다. 엇갈리는 점에서 나누지 않고 한 번에 적분하면 위아래가 상쇄되어 \(\int_0^{\pi}(\sin x - \cos x)\,dx = 2\)라는 틀린 값이 나온다.
아래 탐구 카드에서 세로와 가로로 자르는 방법을 비교하고, 엇갈리는 두 곡선의 넓이를 직접 구해 보자.
- 포물선과 직선으로 둘러싸인 넓이는 언제나 \(\dfrac{|k|}{6}(\beta - \alpha)^3\)이다(\(k\)는 포물선의 이차항 계수, \(\alpha\), \(\beta\)는 교점의 \(x\)좌표). 아르키메데스가 이미 기하로 구한 결과이다.
두 곡선 사이의 넓이는 위 곡선에서 아래 곡선을 뺀 막대 높이를 적분하여 구하고, 곡선이 엇갈리면 교점에서 구간을 나눈다. 계산이 쉬우면 가로로 잘라 \(y\)에 대해 적분한다. 그래서 처음 질문의 \(y = x^2\)과 \(y = 2x\) 사이 렌즈 모양의 넓이는 \(\int_0^2 (2x - x^2)dx = \frac{4}{3}\)이다.