부분적분법

\(\int \ln x\,dx\)나 \(\int xe^x\,dx\)는 치환으로도 풀리지 않는다. 곱으로 된 함수를 적분하는 방법은 없을까? 곱의 미분법을 거꾸로 쓰면 될 것 같다. 그 결과를 그래프로 보면, 곡선 아래 넓이와 곡선 왼쪽 넓이를 합친 것이 직사각형이 된다. 왜 그럴까?

오른쪽 끝 \(b\)

3.3.1부분적분법

곱의 미분법 \((fg)' = f'g + fg'\)의 양변을 적분하면 \(fg = \int f'g\,dx + \int fg'\,dx\)이다. 이를 정리하면 곱의 적분 하나를 다른 곱의 적분으로 바꾸는 공식을 얻는다.

그림 1은 이 공식의 넓이 그림이다. \(u = x\), \(v = \ln x\)로 보면 \(\int_1^b v\,du\)가 곡선 아래 넓이, \(\int_0^{\ln b} u\,dv\)가 곡선 왼쪽 넓이이고, 둘의 합이 직사각형 넓이 \(uv\)에서 원점 쪽 작은 직사각형 넓이를 뺀 것과 같다. 여기서는 작은 직사각형의 넓이가 \(1 \times 0 = 0\)이므로 합이 바로 \(b\ln b\)이다. 슬라이더로 \(b\)를 바꾸어도 두 넓이의 합은 늘 직사각형이다.¹

3.3.2어느 쪽을 미분할까

부분적분이 쓸모 있으려면 오른쪽의 \(\int f'g\,dx\)가 처음보다 쉬워야 한다. 미분하면 간단해지는 함수를 \(f\)로, 적분하기 쉬운 함수를 \(g'\)으로 고른다. 대개 로그함수, 다항함수, 삼각함수, 지수함수의 순서로 앞의 것을 \(f\)로 잡으면 잘 풀린다.

3.3.3예제 풀이

(1) \(f = x\), \(g' = e^x\)로 놓으면 \(f' = 1\), \(g = e^x\)이다. \(\int_0^1 xe^x\,dx = \Big[xe^x\Big]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - (e - 1) = 1\)이다. 거꾸로 \(f = e^x\), \(g' = x\)로 잡으면 \(\int \dfrac{x^2}{2}e^x\,dx\)가 남아 오히려 복잡해진다.

(2) \(\ln x = \ln x \cdot 1\)로 보고 \(f = \ln x\), \(g' = 1\)로 놓으면 \(f' = \dfrac{1}{x}\), \(g = x\)이다. \(\int_1^e \ln x\,dx = \Big[x\ln x\Big]_1^e - \int_1^e 1\,dx = e - (e - 1) = 1\)이다. 그림 1에서 \(b = e\)로 맞추면 초록 넓이가 1이고, 주황 넓이 \(e - 1\)과 합쳐 \(e \times 1 = e\)가 된다.

아래 탐구 카드에서 부분적분의 넓이 그림과, 어느 쪽을 미분할지 고르는 요령을 직접 확인해 보자.

1. 일반적으로 증가함수 \(y = f(x)\)와 그 역함수에 대하여 \(\int_a^b f(x)\,dx + \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(y)\,dy = bf(b) - af(a)\)가 성립한다. 부분적분을 넓이로 본 것이다.