치환적분법

\(\int_0^1 2x\cos(x^2)\,dx\)는 공식표에 바로 없는 모양이다. 그런데 자세히 보면 \(2x\)는 \(x^2\)의 도함수이다. 합성함수의 미분법을 거꾸로 쓰면 이 적분을 쉬운 적분으로 바꿀 수 있지 않을까? 그때 넓이는 그래프에서 어떻게 옮겨 갈까?

위끝 \(b\)

3.2.1치환적분법

\(F'(u) = f(u)\)이고 \(u = g(x)\)이면, 합성함수의 미분법에 의해 \(\{F(g(x))\}' = f(g(x))g'(x)\)이다. 이를 거꾸로 읽으면 \(\int f(g(x))g'(x)\,dx = F(g(x)) + C\)이다. 곧 적분할 식이 '속함수의 도함수 \(\times\) 속함수의 함수' 꼴이면, 속함수를 \(u\)로 바꾸어 \(\int f(u)\,du\)로 계산할 수 있다.

정적분에서는 적분 구간도 \(x\)의 범위에서 \(u\)의 범위로 바꾸어야 한다. \(x\)가 0에서 1까지 변하면 \(u = x^2\)은 0에서 1까지 변하므로 \(\int_0^1 2x\cos(x^2)\,dx = \int_0^1 \cos u\,du = \sin 1 \approx 0.841\)이다. 그림 1에서 위끝 \(b\)를 바꾸어 보면 두 넓이가 늘 같다.¹

3.2.2자주 쓰는 꼴

분자가 분모의 도함수인 꼴 \(\int \dfrac{g'(x)}{g(x)}\,dx\)는 \(u = g(x)\)로 놓으면 \(\int \dfrac{du}{u} = \ln|g(x)| + C\)이다. 예를 들어 \(\int \tan x\,dx = \int \dfrac{\sin x}{\cos x}\,dx\)에서 분모 \(\cos x\)의 도함수는 \(-\sin x\)이므로 결과는 \(-\ln|\cos x| + C\)이다. 일차식이 들어간 \(\int f(ax + b)\,dx\)는 \(u = ax + b\)로 놓아 \(\dfrac{1}{a}F(ax + b) + C\)가 된다.

3.2.3예제 풀이

(1) \(u = x^2\)으로 놓으면 \(du = 2x\,dx\), 곧 \(x\,dx = \dfrac{1}{2}du\)이다. \(x: 0 \to 1\)이면 \(u: 0 \to 1\)이므로 \(\int_0^1 \dfrac{1}{2}e^u\,du = \dfrac{1}{2}(e - 1) \approx 0.859\)이다.

(2) \(u = \sin x\)로 놓으면 \(du = \cos x\,dx\)이고, \(x: 0 \to \dfrac{\pi}{2}\)이면 \(u: 0 \to 1\)이다. 따라서 \(\int_0^1 u^3\,du = \dfrac{1}{4}\)이다. 구간을 바꾸지 않고 \(\int_0^{\pi/2} u^3\,du\)로 계산하면 틀린 값이 나온다. 구간을 바꾸기 싫다면 부정적분 \(\dfrac{\sin^4 x}{4}\)을 먼저 구해 원래 구간을 넣어도 같은 \(\dfrac{1}{4}\)이 나온다.

아래 탐구 카드에서 치환하면 넓이가 어디로 옮겨 가는지, 구간을 바꾸어야 하는 까닭을 직접 확인해 보자.

1. \(du = g'(x)\,dx\)라는 표기는 '\(x\)가 조금 변할 때 \(u\)는 \(g'(x)\)배만큼 변한다'는 뜻으로 읽을 수 있다. 라이프니츠가 만든 이 표기 덕분에 치환이 분수 계산처럼 자연스러워진다.