여러 가지 함수의 적분

미적분Ⅰ에서는 다항함수만 적분했습니다. 적분은 미분을 거꾸로 하는 일이므로, 앞 단원에서 구한 도함수 공식을 뒤집으면 새 함수들의 부정적분이 나옵니다. 이 절에서는 지수가 실수인 거듭제곱함수, 지수함수, 삼각함수를 적분합니다. 특히 \(x^n\)의 공식이 통하지 않는 \(n = -1\)에서 자연로그가 나타나는 까닭을 넓이로 확인합니다.

먼저 알면 좋은 것 부정적분과 정적분 지수함수·로그함수의 도함수 삼각함수의 도함수

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여러 가지 함수의 적분

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미적분Ⅰ에서 \(\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C\)를 배웠다. 그런데 \(n = -1\)을 넣으면 분모가 0이 되어 공식이 무너진다. 그렇다고 \(y = \dfrac{1}{x}\)의 그래프 아래 넓이가 없는 것은 아니다. \(x = 1\)에서 \(x = 2\)까지 \(y = \dfrac{1}{x}\) 아래의 넓이는 얼마이고, 그 넓이는 어떤 함수로 나타날까?

지수 \(n\)

그림 1. \(\int_1^2 x^n\,dx\). \(n\)을 \(-1\)에 가깝게 해도 넓이는 매끄럽게 변하며 \(\ln 2 \approx 0.693\)에 다가간다. 공식만 무너질 뿐 넓이에는 아무 문제가 없다.

먼저 알아야 할 것부정적분과 정적분(미적분Ⅰ), 지수함수·로그함수의 도함수(지수·로그함수의 극한과 미분), 삼각함수의 도함수(삼각함수의 극한과 미분).

3.1.1미분을 거꾸로 읽기

부정적분은 미분의 역이다. 그러므로 앞에서 구한 도함수 공식을 거꾸로 읽으면 적분 공식을 얻는다. \((\ln|x|)' = \dfrac{1}{x}\)이므로 \(\dfrac{1}{x}\)의 부정적분은 \(\ln|x|\)이다. \(x < 0\)에서도 \(\ln(-x)\)를 미분하면 \(\dfrac{-1}{-x} = \dfrac{1}{x}\)이 되므로 절댓값을 붙인다.

정리 3.1.1 여러 가지 함수의 부정적분 (\(C\)는 적분상수)

\[\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\ (n \ne -1),\qquad \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C\] \[\int e^x\,dx = e^x + C,\quad \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C,\quad \int \sin x\,dx = -\cos x + C,\quad \int \cos x\,dx = \sin x + C\] \[\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C\]

그림 1에서 \(n\)을 \(-1\)에 가깝게 움직여 보자. \(n = -0.99\)이면 \(\dfrac{2^{0.01} - 1}{0.01} \approx 0.6956\), \(n = -1.01\)이면 \(\approx 0.6908\)로, 둘 다 \(\ln 2 \approx 0.6931\)을 사이에 두고 다가간다. \(\dfrac{1}{x}\)의 적분이 거듭제곱이 아니라 로그로 나오는 것은 공식의 빈자리를 로그가 채우는 것이다.¹

3.1.2원시함수 확인하기

부정적분이 맞는지는 미분해 보면 바로 확인할 수 있다. \(\int \sin x\,dx\)의 후보로 \(\cos x\)를 떠올리기 쉽지만, \((\cos x)' = -\sin x\)이므로 부호가 틀렸다. 올바른 답 \(-\cos x\)를 미분하면 \(\sin x\)가 된다. 적분 결과를 미분하여 처음 함수가 나오는지 확인하는 습관이 실수를 막는다.

그림 2. 적분한 결과를 미분하면 처음 함수로 돌아와야 한다.

3.1.3예제 풀이

예제 3.1.2

다음 정적분의 값을 구하여라. (1) \(\int_1^{e} \dfrac{x + 1}{x}\,dx\) (2) \(\int_0^{\pi} \sin x\,dx\) (3) \(\int_0^{1} (e^x + 2^x)\,dx\)

(1) \(\dfrac{x + 1}{x} = 1 + \dfrac{1}{x}\)이므로 \(\left[x + \ln x\right]_1^e = (e + 1) - (1 + 0) = e\)이다. (2) \(\left[-\cos x\right]_0^{\pi} = -\cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2\)이다. 사인 곡선의 한 봉우리 아래 넓이가 정확히 2라는 뜻이다.

(3) \(\left[e^x + \dfrac{2^x}{\ln 2}\right]_0^1 = (e - 1) + \dfrac{2 - 1}{\ln 2} = e - 1 + \dfrac{1}{\ln 2} \approx 1.718 + 1.443 = 3.161\)이다. 밑이 \(e\)가 아닌 지수함수는 \(\ln a\)로 나누어야 한다는 점에 주의한다.

아래 탐구 카드에서 \(x^n\)의 적분 공식이 \(n = -1\)에서 바뀌는 모습과, 여러 원시함수 후보를 미분으로 확인하는 과정을 직접 해 보자.

그래서 \(\ln x\)를 \(\ln x = \int_1^x \dfrac{1}{t}\,dt\)로 정의하기도 한다. 이렇게 정의하면 \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\) 같은 로그의 성질도 넓이의 성질로 증명할 수 있다.

마무리

여러 가지 함수의 적분 공식은 도함수 공식을 거꾸로 읽어 얻으며, 결과를 미분하여 확인할 수 있다. \(x^n\)의 공식은 \(n = -1\)에서 쓸 수 없고, 그 자리를 \(\int \frac{1}{x}dx = \ln|x| + C\)가 채운다. 그래서 처음 질문의 \(y = \frac{1}{x}\) 아래 1에서 2까지의 넓이는 \(\ln 2 \approx 0.693\)이다.

탐구 1

\(x^n\)의 적분 공식은 \(n = -1\)에서 왜 멈출까?

거듭제곱함수의 적분 · 조작

지수 \(n\) = \(-0.5\) 위끝 \(b\) = 3

넓이로 잰 \(\int_1^b x^n\,dx\): —
\(\frac{b^{n+1} - 1}{n + 1}\): —
\(\ln b\): —

그림을 끌면 위끝 \(b\)가 움직인다. 첫 값은 칠한 넓이를 잘게 나누어 더한 값이다(\(b < 1\)이면 부호가 음수).

질문\(\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n + 1} + C\)는 \(n\)이 정수가 아닌 실수일 때도 맞을까? 그리고 분모가 0이 되는 \(n = -1\)이면 \(\frac{1}{x}\)의 넓이는 어떻게 구할까?
복원\(x > 0\)이고 \(n\)이 실수이면 \((x^{n+1})' = (n + 1)x^n\)이고, \((\ln x)' = \frac{1}{x}\)이다. 그리고 부정적분은 미분하면 피적분함수가 되는 함수이다.
설명\(n \ne -1\)이면 \(\frac{x^{n+1}}{n + 1}\)을 미분해 \(x^n\)이 되므로 \(\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n + 1} + C\)이고, 예를 들어 \(\int \sqrt{x}\,dx = (\frac{2}{3})x^{\frac{3}{2}} + C\), \(\int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C\)이다. 그런데 \(n = -1\)이면 이 식은 0으로 나누게 되어 쓸 수 없다. 대신 \((\ln x)' = \frac{1}{x}\)이므로 \(\int \frac{1}{x}\,dx = \ln |x| + C\)이며, \(x < 0\)에서도 \((\ln(-x))' = \frac{1}{x}\)이므로 절댓값을 씌운다.
연결\(n\)이 \(-1\)에 가까워지면 \(\frac{b^{n+1} - 1}{n + 1}\)은 앞 단원의 극한 \(\frac{e^h - 1}{h} \to 1\)과 같은 꼴이 되어 \(\ln b\)로 다가간다. 그래서 \(\frac{1}{x}\)의 적분은 따로 떨어진 예외가 아니라 거듭제곱 적분이 이어지는 자리에 있으며, \(\frac{1}{x}\)의 넓이로 자연로그를 정의하는 교재도 있다.
적용\(n = -0.5\), \(b = 4\)에서 넓이가 2인지 확인하고, \(n\)을 \(-1.1\), \(-1.05\)로 옮기며 둘째 값과 \(\ln b\)를 비교해 보자. 그리고 \(n = -1\)을 누르면 둘째 값이 어떻게 되고 넓이는 무엇과 같아지는지, \(b\)를 1보다 작게 하면 부호가 어떻게 되는지 보자.
판단\(\int \frac{1}{x}\,dx = \frac{x^0}{0}\) 또는 \(-\frac{1}{x^2}\)이라고 쓰는 실수가 흔한데, 앞의 것은 정의되지 않고 뒤의 것은 \(\frac{1}{x}\)를 미분한 결과이다. 또 \(\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}\,dx\)에 공식을 그대로 넣어 \(-2\)를 얻으면 안 된다. \(\frac{1}{x^2}\)은 \(x = 0\)에서 정의되지 않아 그 구간에서는 이 방법으로 정적분을 구할 수 없기 때문이다.

확인조건이 달라지면

\(\int_1^e (\frac{1}{x} + x)\,dx\)의 값은?

탐구 2

어느 후보가 \(e^x\), \(\sin x\)의 진짜 원시함수일까?

지수함수·삼각함수의 적분 · 조작

아래끝 \(a\) = 0 위끝 \(b\) = 1

넓이로 잰 \(\int_a^b f(x)\,dx\): —
후보 \(F(b) - F(a)\): —
판정: —

초록은 \(x\)축 위, 주황은 아래쪽 넓이이다. 후보를 하나 고르고 구간을 여러 번 바꾸어도 두 값이 늘 같은지 보자.

질문\(\int e^x\,dx\), \(\int 2^x\,dx\), \(\int \sin x\,dx\)를 구하라고 할 때, 그럴듯한 후보 중 어느 것이 맞는지 어떻게 가릴 수 있을까?
복원\(F'(x) = f(x)\)이면 \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\)이다. 또 \((e^x)' = e^x\), \((a^x)' = a^x \ln a\), \((\sin x)' = \cos x\), \((\cos x)' = -\sin x\), \((\tan x)' = \sec^2 x\)이다.
설명도함수 공식을 거꾸로 읽으면 \(\int e^x\,dx = e^x + C\), \(\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C\) \((a > 0, a \ne 1)\), \(\int \sin x\,dx = -\cos x + C\), \(\int \cos x\,dx = \sin x + C\), \(\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C\), \(\int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C\)를 얻는다. 후보가 맞는지는 미분해 보면 알 수 있고, 그림에서는 \(F(b) - F(a)\)가 어떤 구간에서도 넓이와 같은지로 확인할 수 있다.
연결적분 공식은 모두 미분 공식의 거울상이다. 그래서 새 함수의 적분을 만날 때마다 무엇을 미분하면 이것이 될지를 먼저 묻고, 바로 떠오르지 않는 함수는 다음 두 절의 치환적분법과 부분적분법으로 아는 꼴로 바꾼다.
적용\(e^x\)에서 두 후보를 번갈아 고르며 판정을 보고, 틀린 후보도 어떤 구간에서는 우연히 넓이와 가까울 수 있는지 생각해 보자. \(2^x\)에서는 \(2^x\)을 그대로 쓰면 넓이와 몇 배 차이가 나는지, 그 배수가 \(\ln 2\)와 어떤 관계인지 보자. \(\sin x\)에서 \(a = 0\), \(b = 3.15\) 근처로 놓으면 넓이는 2에 가까워진다.
판단\(\int e^x\,dx = \frac{e^{x+1}}{x + 1}\)처럼 거듭제곱 공식을 지수함수에 쓰는 실수가 흔한데, 거듭제곱 공식은 밑이 변수이고 지수가 상수일 때만 쓴다. 또 \(\int \sin x\,dx = \cos x\)로 부호를 놓치기 쉽다. \(0 < x < \pi\)에서 \(\sin x > 0\)이므로 원시함수는 증가해야 하는데 \(\cos x\)는 감소하기 때문이다.

확인조건이 달라지면

\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin x + e^x)\,dx\)의 값은?

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