지수·로그함수의 극한과 미분
본문은행에 1원을 맡기고 1년 이자율이 100%라면 1년 뒤 2원이 된다. 이자를 반년마다 50%씩 두 번 주면 \(1.5^2 = 2.25\)원, 한 달마다 주면 \(\left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 2.61\)원이 된다. 이자를 더 자주, 매 순간 준다면 1년 뒤 금액은 끝없이 커질까? 이 물음의 답이 미분에서 특별한 수 \(e\)이다.
2.1.1무리수 \(e\)와 자연로그
이자를 \(n\)번 나누어 주면 1년 뒤 금액은 \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\)이다. \(h = \frac{1}{n}\)로 놓으면 \((1 + h)^{\frac{1}{h}}\)이고, \(n\)이 커질수록 \(h\)는 0에 가까워진다. 그림 1에서 \(h\)를 0에 가깝게 해 보면 값은 커지기는 하지만 2.718…을 넘지 않는다.
\[e = \lim_{h \to 0} (1 + h)^{\frac{1}{h}} = 2.71828\ldots\] 은 무리수이다. \(e\)를 밑으로 하는 로그 \(\log_e x\)를 자연로그라 하고 \(\ln x\)로 쓴다.
이자율이 100%가 아니어도 같은 생각을 쓸 수 있다. 연 이자율 \(r\)을 \(n\)번 나누어 주면 1년 뒤 금액은 \(\left(1 + \frac{r}{n}\right)^n\)이고, \(\frac{r}{n} = h\)로 놓으면 \(\left\{(1 + h)^{\frac{1}{h}}\right\}^r\)이므로 매 순간 줄 때 \(e^r\)이 된다. 이것을 \(t\)년 동안 하면 \(e^{rt}\)이다. 그래서 \(e\)의 지수는 '성장률 × 시간'을 뜻하고, 거꾸로 자연로그는 불어난 배수에서 이 값을 꺼내 준다. 가령 매 순간 복리로 2배가 되었다면 \(rt = \ln 2 \approx 0.69\)이므로, 연 이자율 10%이면 약 6.9년이 걸린다.
이 극한에서 두 가지 기본 극한이 나온다. 양변에 자연로그를 취하면 \(\lim_{h \to 0} \dfrac{\ln(1 + h)}{h} = 1\)이고, \(e^h - 1 = t\)로 치환하면 \(\lim_{h \to 0} \dfrac{e^h - 1}{h} = 1\)이다.1
2.1.2지수함수와 로그함수의 도함수
\(y = e^x\)의 도함수를 정의대로 구하면 \[\lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h} = e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = e^x\] 이다. \(e^x\)는 어느 점에서나 접선의 기울기가 그 점의 높이와 같은 유일한 지수함수이다. 이것이 처음 질문의 답이다.
\[(e^x)' = e^x,\quad (a^x)' = a^x \ln a,\quad (\ln x)' = \frac{1}{x},\quad (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}\]
\(a^x = e^{x \ln a}\)이므로 \(a^x\)의 기울기는 높이에 \(\ln a\)를 곱한 것이다. 밑이 2이면 \(\ln 2 \approx 0.69\)배, 밑이 3이면 \(\ln 3 \approx 1.10\)배로, 그 사이의 \(e\)에서 정확히 1배가 된다. \(\ln x\)의 도함수는 \(\dfrac{\ln(x + h) - \ln x}{h} = \dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{\ln(1 + h/x)}{h/x}\)에서 \(\dfrac{1}{x}\)이다.
2.1.3예제 풀이
\(\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{3x} - 1}{x}\)을 구하여라. 또 곡선 \(y = \ln x\) 위의 점 \((e, 1)\)에서의 접선의 방정식을 구하여라.
\(\dfrac{e^{3x} - 1}{x} = 3 \times \dfrac{e^{3x} - 1}{3x}\)이고, \(x \to 0\)이면 \(3x \to 0\)이므로 \(\dfrac{e^{3x} - 1}{3x} \to 1\)이다. 따라서 극한은 3이다.
\(y' = \dfrac{1}{x}\)이므로 \(x = e\)에서 기울기는 \(\dfrac{1}{e}\)이다. 접선은 \(y - 1 = \dfrac{1}{e}(x - e)\), 곧 \(y = \dfrac{x}{e}\)이다. 이 접선은 원점을 지난다. 원점에서 \(y = \ln x\)에 그은 접선의 접점이 바로 \((e, 1)\)이라는 뜻이다.
아래 탐구 카드에서 \(e\)의 극한, 기울기와 높이가 같은 지수함수, \(\ln x\)의 기울기를 직접 확인해 보자.
- \(e^h - 1 = t\)로 놓으면 \(h = \ln(1 + t)\)이고 \(h \to 0\)일 때 \(t \to 0\)이므로 \(\dfrac{e^h - 1}{h} = \dfrac{t}{\ln(1 + t)} \to 1\)이다.
\(e = \lim_{h \to 0}(1 + h)^{1/h}\)는 약 2.718인 무리수이며, 이 극한에서 \(\lim \frac{e^h - 1}{h} = 1\)이 나온다. 그 결과 \((e^x)' = e^x\), \((\ln x)' = \frac{1}{x}\)이다. 그래서 처음 질문의 이자를 매 순간 주어도 1년 뒤 금액은 끝없이 커지지 않고 \(e\)원에 다가가며, 이 \(e\)가 기울기와 높이가 같은 지수함수의 밑이다.