쌍곡선함수와 역쌍곡선함수

목걸이 사슬의 두 끝을 같은 높이로 잡고 늘어뜨리면 아래로 처진 곡선이 생긴다. 갈릴레이는 이 곡선이 포물선이라고 생각했지만, 실제로 사슬을 모눈종이 앞에 걸고 포물선과 겹쳐 보면 가운데는 잘 맞는데 양 끝으로 갈수록 사슬이 조금 더 가파르게 올라간다. 이 곡선은 \(e^x\)와 \(e^{-x}\)의 평균으로 나타낸다고 한다. 지수함수의 평균은 원의 \(\cos\), \(\sin\)과 닮은 성질을 가진다는데, 어떤 성질일까?

1.2.1지수함수로 만든 두 함수

\(e^x\)와 \(e^{-x}\)의 평균과 차의 절반을 각각 \(\cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\), \(\sinh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}\)라 하고, 쌍곡코사인과 쌍곡사인이라 읽는다. \(\cosh x\)는 \(x\)를 \(-x\)로 바꾸어도 같은 우함수이고 \(x = 0\)에서 가장 작은 값 1을 가지며, 그 그래프가 사슬이 처진 모양인 현수선이다. \(\sinh x\)는 원점에 대해 대칭인 기함수이고 늘 증가한다. 두 함수를 제곱해 빼면 \(e^x e^{-x} = 1\)만 남는다.

원 \(x^2 + y^2 = 1\) 위의 점을 \((\cos t, \sin t)\)로 나타내듯, 쌍곡선 \(x^2 - y^2 = 1\) 위의 점은 \((\cosh t, \sinh t)\)로 나타낸다. 원에서 \(t\)는 원점과 \((1, 0)\), \((\cos t, \sin t)\)가 만드는 부채꼴 넓이의 두 배인데, 쌍곡선에서도 \(t\)는 원점과 \((1, 0)\), \((\cosh t, \sinh t)\)가 쌍곡선과 만드는 부채꼴 넓이의 두 배이다. 그래서 이 함수들에 쌍곡선함수라는 이름이 붙었다.¹

1.2.2역쌍곡선함수는 로그이다

\(y = \sinh^{-1}x\)이면 \(x = \sinh y = \dfrac{e^y - e^{-y}}{2}\)이다. \(u = e^y\)로 놓으면 \(2x = u - 1/u\)이고, 양변에 \(u\)를 곱하면 \(u^2 - 2xu - 1 = 0\)이라는 \(u\)의 이차방정식이 된다. \(u = e^y\)는 양수이므로 근의 공식에서 양의 근 \(u = x + \sqrt{x^2 + 1}\)만 택하고, 로그를 취하면 \(y = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})\)이다. 그래서 지수함수로 만든 쌍곡선함수의 역함수는 자연로그로 쓸 수 있다.

1.2.3예제 풀이

\(e^{\ln 2} = 2\), \(e^{-\ln 2} = 1/2\)이므로 \(\cosh(\ln 2) = \dfrac{2 + 1/2}{2} = \dfrac54\), \(\sinh(\ln 2) = \dfrac{2 - 1/2}{2} = \dfrac34\)이다. \(\left(\dfrac54\right)^2 - \left(\dfrac34\right)^2 = \dfrac{25 - 9}{16} = 1\)로 항등식이 성립한다. 점 \((5/4, 3/4)\)은 쌍곡선 \(x^2 - y^2 = 1\) 위에 있다.

\(\sinh y = 1\)이면 \(y = \sinh^{-1}1 = \ln(1 + \sqrt2) \approx \ln 2.4142 \approx 0.8814\)이다. 확인하면 \(e^{0.8814} \approx 2.4142\), \(e^{-0.8814} \approx 0.4142\)이므로 \(\sinh y \approx (2.4142 - 0.4142)/2 = 1\)이다. 즉 지수함수의 평균과 차로 만든 쌍곡선함수는 쌍곡선 위의 점을 매개변수로 나타내며, 그 역함수는 이차방정식을 풀어 자연로그로 쓸 수 있다.

아래 탐구 카드에서 쌍곡선 위의 점 \((\cosh t, \sinh t)\)를 움직여 보고, 늘어뜨린 사슬을 현수선과 포물선에 겹쳐 비교해 보자.

1. 사슬이 포물선이 아니라는 것은 1690년 야코프 베르누이가 낸 문제를 라이프니츠, 하위헌스, 요한 베르누이가 풀며 밝혀졌다. 미국 세인트루이스의 게이트웨이 아치는 현수선을 거꾸로 세운 모양으로, 무게가 아치를 따라 고르게 전해진다.