쌍곡선함수의 도함수

비행기에서 뛰어내린 스카이다이버는 처음에는 중력 가속도로 빨라지지만, 속도가 커질수록 공기 저항이 커져 가속이 줄어든다. 공기 저항이 속도의 제곱에 비례한다고 하면 속도 \(v\)는 \(v' = g - kv^2\)을 만족한다. 이 스카이다이버의 종단 속도가 초속 50 m라면, 뛰어내린 지 5초 뒤, 10초 뒤의 속도는 얼마일까? 이 문제의 답은 쌍곡탄젠트 \(\tanh\)로 쓴다는데, 쌍곡선함수를 미분하면 어떤 함수가 나올까?

1.3.1미분해도 서로 돌아오는 짝

\(\cosh x = (e^x + e^{-x})/2\)를 미분하면 \(e^{-x}\)의 도함수가 \(-e^{-x}\)이므로 \((e^x - e^{-x})/2 = \sinh x\)가 된다. 같은 방법으로 \(\sinh x\)를 미분하면 \(\cosh x\)가 된다. 원의 삼각함수에서는 \(\cos\)를 미분하면 \(-\sin\)이 되어 부호가 바뀌지만, 쌍곡선함수에서는 부호가 바뀌지 않는다. 그래서 \(\cosh\)를 두 번 미분하면 자기 자신이 되고, 그 그래프의 접선 기울기를 모으면 \(\sinh\)의 그래프가 된다.

\(\tanh x\)의 도함수는 몫의 미분법으로 \(\dfrac{\cosh^2 x - \sinh^2 x}{\cosh^2 x} = \dfrac{1}{\cosh^2 x}\)이고, 항등식으로 바꾸면 \(1 - \tanh^2 x\)이다. 그래서 \(y = \tanh x\)는 미분방정식 \(y' = 1 - y^2\)을 만족한다. \(\tanh x\)는 \(x\)가 커지면 1에, 작아지면 \(-1\)에 다가가는 S자 모양이고, \(y\)가 1에 가까워질수록 \(1 - y^2\)이 0에 가까워져 증가가 느려진다.¹

1.3.2스카이다이버의 식

스카이다이버의 식 \(v' = g - kv^2\)에서 가속이 0이 되는 속도 \(v_T = \sqrt{g/k}\)가 종단 속도이다. \(v = v_T\tanh(gt/v_T)\)로 놓고 합성함수의 미분법을 쓰면 \(v' = v_T\cdot\dfrac{g}{v_T}(1 - \tanh^2) = g\left(1 - \dfrac{v^2}{v_T^2}\right) = g - kv^2\)이 되어 식을 만족한다. 또 \(t = 0\)에서 \(v = 0\)이다. \(t\)가 작으면 \(\tanh u \approx u\)이므로 \(v \approx gt\)로 자유 낙하와 같고, \(t\)가 커지면 \(\tanh\)가 1에 다가가 \(v\)는 \(v_T\)에 다가간다.

1.3.3예제 풀이

5초 뒤에는 \(v = 50\tanh(0.98) \approx 50\times0.753 \approx 37.7\) m/s이고, 10초 뒤에는 \(v = 50\tanh(1.96) \approx 50\times0.961 \approx 48.1\) m/s이다. 자유 낙하였다면 각각 49 m/s, 98 m/s였을 것이다.

\(v = 0.99v_T\)이면 \(\tanh(gt/v_T) = 0.99\)이므로 \(gt/v_T = \tanh^{-1}0.99 = \tfrac12\ln\dfrac{1.99}{0.01} = \tfrac12\ln199 \approx 2.647\)이다. 따라서 \(t \approx 2.647\times50/9.8 \approx 13.5\)초이다. 그래서 스카이다이버는 뛰어내린 지 13초쯤이면 거의 일정한 속도로 떨어진다. 즉 쌍곡선함수는 미분해도 서로 돌아오고 \(\tanh\)의 도함수가 \(1 - \tanh^2\)이어서, 저항을 받으며 떨어지는 물체의 속도를 \(\tanh\) 하나로 나타낼 수 있다.

아래 탐구 카드에서 \(\cosh x\)의 접선 기울기를 모아 그래프를 그리고, 쌍곡선함수의 미분 풀이에서 틀린 곳을 찾고, 스카이다이버의 속도를 계산해 보자.

1. \(\tanh\)의 S자 곡선은 인공 신경망에서 입력을 \(-1\)과 1 사이로 눌러 주는 함수로도 쓰인다. 도함수를 \(1 - \tanh^2\)처럼 함수값만으로 바로 구할 수 있어 학습 계산이 빠르기 때문이다.