몫의 미분법

\(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\)이니, 분자와 분모를 따로 미분하면 \(\dfrac{\cos x}{-\sin x}\)가 되어야 할까? 그런데 \(x = 0\)에서 이 값은 정의되지 않는다. 그래프를 보면 \(\tan x\)는 원점에서 기울기 1로 올라가고 있다. 몫의 도함수는 어떻게 구해야 할까?

접점의 \(x\)

2.4.1몫의 미분법

먼저 \(\dfrac{1}{g(x)}\)의 도함수를 구하자. 정의대로 쓰면 \[\frac{1}{h}\left(\frac{1}{g(x+h)} - \frac{1}{g(x)}\right) = -\frac{g(x+h) - g(x)}{h} \cdot \frac{1}{g(x+h)g(x)}\] 이고, \(h \to 0\)이면 \(-\dfrac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}\)이다. \(\dfrac{f}{g} = f \cdot \dfrac{1}{g}\)이므로 곱의 미분법을 쓰면 몫의 도함수를 얻는다.

분자의 순서에 주의해야 한다. 분자를 미분한 것에 분모를 곱한 뒤, 분자에 분모를 미분한 것을 곱한 것을 뺀다. 이 공식으로 \(x^{-n} = \dfrac{1}{x^n}\)을 미분하면 \(-\dfrac{nx^{n-1}}{x^{2n}} = -nx^{-n-1}\)이 되어, \((x^n)' = nx^{n-1}\)이 음의 정수 \(n\)에서도 성립한다.¹

2.4.2여러 가지 삼각함수의 도함수

\(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\)에 몫의 미분법을 쓰면 \[(\tan x)' = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x\] 이다. \(\cos^2 x \le 1\)이므로 기울기는 언제나 1 이상이다. 그림 1에서 접점을 옮겨 보면 원점에서 기울기 1, 가장자리로 갈수록 기울기가 커진다. 처음 질문처럼 분자와 분모를 따로 미분한 \(\dfrac{\cos x}{-\sin x}\)는 전혀 다른 값이다.

2.4.3예제 풀이

분자 \(x^2 + 1\)의 도함수는 \(2x\), 분모 \(x - 1\)의 도함수는 1이므로 \[f'(x) = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 1) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}\] 이다.

\(f'(x) = 0\)이려면 분자가 0이어야 하므로 \(x^2 - 2x - 1 = 0\), 곧 \(x = 1 \pm \sqrt{2}\)이다. 두 점 모두 \(x \ne 1\)이므로 정의역 안에 있다. 이 두 점에서 그래프의 접선이 수평이 되며, 다음에 볼 그래프의 개형에서 극값의 후보가 된다. 분자와 분모를 따로 미분했다면 \(\dfrac{2x}{1} = 0\)에서 \(x = 0\)이라는 틀린 답이 나온다.

아래 탐구 카드에서 몫의 도함수를 직접 확인하고, \(\tan x\)의 기울기가 1보다 작아지지 않는 까닭을 살펴보자.

1. 몫의 미분법을 외우지 않아도, \(\dfrac{f}{g} = f \cdot g^{-1}\)로 보고 곱의 미분법과 합성함수의 미분법을 쓰면 같은 결과를 얻는다.