유리함수
본문물 120 L를 채우는 데 걸리는 시간은 1분에 붓는 양 \(x\) L에 반비례해서 \(y = \dfrac{120}{x}\)분이다. 그런데 \(y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}\)처럼 분자와 분모가 모두 일차식인 함수는 그래프가 어떻게 생겼을까? 반비례의 그래프와 어떤 관계일까?
3.4.1유리식과 유리함수
두 다항식 \(A\), \(B\ (B \ne 0)\)로 \(\dfrac{A}{B}\)꼴로 나타낸 식을 유리식이라 한다. \(y = f(x)\)에서 \(f(x)\)가 \(x\)에 대한 유리식이면 이 함수를 유리함수라 하고, 특히 \(f(x)\)가 다항식이면 다항함수라 한다. 정의역을 따로 말하지 않으면 분모가 0이 되지 않는 실수 전체를 정의역으로 본다.
가장 단순한 유리함수는 반비례 \(y = \dfrac{k}{x}\)이다. \(x\)가 커질수록 \(y\)는 0에 가까워지고, \(x\)가 0에 가까워질수록 \(|y|\)는 한없이 커진다. 그래서 그래프는 \(x\)축과 \(y\)축에 한없이 가까워지지만 닿지 않는다. 이렇게 그래프가 한없이 가까워지는 직선을 점근선이라 한다.
3.4.2평행이동으로 보기
\(y = \dfrac{k}{x}\)를 \(x\)축 방향으로 \(p\), \(y\)축 방향으로 \(q\)만큼 평행이동하면 \(y - q = \dfrac{k}{x - p}\), 곧 \(y = \dfrac{k}{x - p} + q\)이다. 모양은 그대로이고, 점근선도 함께 옮겨 가서 \(x = p\)와 \(y = q\)가 된다.
\(y = \dfrac{k}{x - p} + q\ (k \ne 0)\)의 그래프는 \(y = \dfrac{k}{x}\)의 그래프를 \(x\)축 방향으로 \(p\)만큼, \(y\)축 방향으로 \(q\)만큼 평행이동한 것이다. 정의역은 \(\{x \mid x \ne p\}\), 치역은 \(\{y \mid y \ne q\}\)이고, 점근선은 \(x = p\), \(y = q\)이다. 그래프는 점 \((p, q)\)에 대하여 대칭이다.
그림 1의 슬라이더로 \(p\)와 \(q\)를 바꾸면 두 점근선이 만나는 점 \((p, q)\)를 중심으로 그래프 전체가 움직인다. \(k\)의 부호를 바꾸면 그래프가 놓이는 사분면이 바뀌고, \(|k|\)가 커지면 그래프가 중심에서 멀어진다.
3.4.3\(\dfrac{ax + b}{cx + d}\)꼴은 나눗셈으로
처음 질문의 \(y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}\)은 정리의 꼴이 아니다. 그런데 분자를 분모로 나누면 \(2x + 1 = 2(x - 1) + 3\)이므로 \(y = 2 + \dfrac{3}{x - 1}\)이다. 즉 \(k = 3\), \(p = 1\), \(q = 2\)인 경우이고, 그림 1의 처음 모습이 바로 이 그래프이다.
일반적으로 \(y = \dfrac{ax + b}{cx + d}\ (c \ne 0)\)의 점근선은 분모가 0이 되는 \(x = -\dfrac{d}{c}\)와, \(x\)가 커질 때 다가가는 값 \(y = \dfrac{a}{c}\)이다.1
3.4.4예제 풀이
함수 \(y = \dfrac{-x + 5}{x - 2}\)의 점근선과 정의역, 치역을 구하고, \(3 \le x \le 6\)에서의 최댓값과 최솟값을 구하여라.
분자를 분모로 나누면 \(-x + 5 = -(x - 2) + 3\)이므로 \(y = \dfrac{3}{x - 2} - 1\)이다. 따라서 점근선은 \(x = 2\), \(y = -1\)이고, 정의역은 \(\{x \mid x \ne 2\}\), 치역은 \(\{y \mid y \ne -1\}\)이다.
\(k = 3 > 0\)이므로 \(x > 2\)인 부분에서 그래프는 \(x\)가 커질수록 내려간다. 범위 \(3 \le x \le 6\)은 이 부분 안에 있으므로, 최댓값은 왼쪽 끝 \(x = 3\)에서 \(\dfrac{3}{1} - 1 = 2\)이고, 최솟값은 오른쪽 끝 \(x = 6\)에서 \(\dfrac{3}{4} - 1 = -\dfrac{1}{4}\)이다.
원래 식에 넣어 확인하면 \(x = 3\)에서 \(\dfrac{2}{1} = 2\), \(x = 6\)에서 \(\dfrac{-1}{4}\)로 같다. 범위가 점근선 \(x = 2\)를 가로질렀다면 그래프가 끊기므로 이렇게 끝점만 보아서는 안 된다. 아래 탐구 카드에서 \(p\), \(q\), \(k\)를 바꾸며 그래프와 점근선이 함께 움직이는 모습을 확인해 보자.
- \(ad - bc = 0\)이면 분자가 분모의 상수배가 되어 \(y = \tfrac{a}{c}\ (x \ne -\tfrac{d}{c})\)인 직선의 일부가 된다. 가령 \(y = \tfrac{2x + 2}{x + 1}\)은 \(x \ne -1\)에서 \(y = 2\)이다.
유리함수 \(y = \tfrac{k}{x - p} + q\)는 반비례의 그래프를 평행이동한 것이어서 점근선 \(x = p\), \(y = q\)에 한없이 가까워진다. 분자와 분모가 일차식인 꼴은 나눗셈으로 이 꼴로 바꾼다. 그래서 처음 질문의 \(y = \tfrac{2x + 1}{x - 1}\)은 \(y = \tfrac{3}{x}\)을 오른쪽으로 1, 위로 2만큼 옮긴 그래프이다.