코시컨트·시컨트·코탄젠트함수
본문단위원 위의 점 \(P\)에서 원에 접하는 직선을 그었다. 이 접선은 \(x\)축과 \(y\)축을 각각 한 점에서 만난다. 동경 \(OP\)가 \(x\)축과 이루는 각이 \(\theta\)일 때, 원점에서 \(x\)축과의 교점까지의 거리, 원점에서 \(y\)축과의 교점까지의 거리, 그리고 \(P\)에서 두 교점까지의 접선의 길이를 재면 모두 \(\theta\)의 함수가 된다. 이 길이들은 사인, 코사인, 탄젠트와 어떤 관계가 있을까? \(\theta\)가 0에 가까워지면 어떤 길이가 끝없이 길어질까?
1.2.1역수에 붙인 이름
사인, 코사인, 탄젠트의 역수를 각각 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트라 하고 \(\csc\theta = 1/\sin\theta\), \(\sec\theta = 1/\cos\theta\), \(\cot\theta = 1/\tan\theta\)로 쓴다. 그림 1에서 직각삼각형 \(OPX\)는 \(\angle OPX\)가 직각이고 \(OP = 1\)이므로, \(\cos\theta = OP/OX\)에서 \(OX = \sec\theta\), \(\tan\theta = PX/OP\)에서 \(PX = \tan\theta\)이다. 같은 방법으로 직각삼각형 \(OPY\)에서 \(OY = \csc\theta\), \(PY = \cot\theta\)이다. 그래서 이 이름들은 원래 단위원의 접선(tangent)과 할선(secant)의 길이에서 왔다.
\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)의 양변을 \(\cos^2\theta\), \(\sin^2\theta\)로 나누면 \[1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta,\qquad 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\]이다. 그림 1의 직각삼각형 \(OPX\)에서 피타고라스 정리를 쓴 것과 같다.
역수 함수는 원래 함수가 0이 되는 곳에서 정의되지 않는다. \(\sin\theta\)가 0에 가까워지면 \(\csc\theta\)의 절댓값은 끝없이 커지고, 그래서 \(\theta = n\pi\)에서 그래프는 세로 점근선을 가진다. 그림 1에서 보면 \(\theta\)가 0에 가까워질 때 접선이 \(y\)축과 거의 나란해져 \(y\)축과 만나는 점이 끝없이 멀어지는 것이다. 반대로 \(\sin\theta\)가 가장 큰 \(\theta = \pi/2\)에서 \(\csc\theta\)는 가장 작은 값 1을 가진다.1
1.2.2사인 그래프에서 코시컨트 그래프로
코시컨트 그래프는 사인 그래프만 보고 그릴 수 있다. 사인값이 1이나 \(-1\)인 곳에서는 역수도 1이나 \(-1\)이어서 두 그래프가 만나고, 사인값이 0에 가까워지는 곳에서는 역수가 끝없이 커진다. 사인값이 양수인 구간에서는 코시컨트도 양수여서 위로 열린 U자 모양이, 음수인 구간에서는 아래로 열린 모양이 된다. 그래서 코시컨트 그래프는 사인 곡선의 봉우리마다 그 위에 얹힌 U자들이 점근선 사이에 줄지어 놓인 모양이고, 주기는 사인과 같은 \(2\pi\)이다.
1.2.3예제 풀이
그림 1에서 \(\theta = \pi/6\)일 때 \(OX\), \(OY\), \(PX\), \(PY\)의 길이를 구하고, \(PX + PY\)가 \(XY\)와 같음을 확인하여라. \(\theta \to 0+\)일 때 \(\csc\theta\)와 \(\cot\theta\)의 차는 어떻게 되는가?
\(\sin(\pi/6) = 1/2\), \(\cos(\pi/6) = \sqrt3/2\)이므로 \(OX = \sec(\pi/6) = 2/\sqrt3 \approx 1.155\), \(OY = \csc(\pi/6) = 2\), \(PX = \tan(\pi/6) = 1/\sqrt3 \approx 0.577\), \(PY = \cot(\pi/6) = \sqrt3 \approx 1.732\)이다. \(PX + PY \approx 2.309\)이고, 직각삼각형 \(XOY\)에서 \(XY = \sqrt{OX^2 + OY^2} = \sqrt{4/3 + 4} = 4/\sqrt3 \approx 2.309\)로 같다.
\(\csc\theta - \cot\theta = \dfrac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}\)이고, 분자와 분모에 \(1 + \cos\theta\)를 곱하면 \(\dfrac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}\)이다. \(\theta \to 0+\)이면 이 값은 \(0/2 = 0\)으로 간다. 그래서 \(\csc\theta\)와 \(\cot\theta\)는 둘 다 끝없이 커지지만 그 차는 0으로 줄어든다. 그림 1에서 \(OY\)와 \(PY\)가 함께 길어지면서 \(O\)와 \(P\)가 \(Y\)에서 보기에 거의 같은 거리가 되는 것이다. 즉 역수 삼각함수는 단위원의 접선과 할선의 길이로 볼 수 있고, 그 그림에서 항등식과 극한의 모습을 함께 읽을 수 있다.
아래 탐구 카드에서 단위원 위의 점을 움직이며 접선이 만드는 길이를 관찰하고, 사인 그래프만 보고 코시컨트 그래프를 예측해 그려 보자.
- 컴퓨터가 없던 시절 항해사들은 시컨트와 코시컨트의 표를 함께 실은 책을 들고 다녔다. 메르카토르 지도에서 위도 \(\varphi\)인 곳의 세로 위치는 \(\sec\)를 적분한 값이어서, 지도를 그리는 데 시컨트의 표가 꼭 필요했다.
코시컨트, 시컨트, 코탄젠트는 사인, 코사인, 탄젠트의 역수이며, 단위원 위의 점에서 그은 접선이 두 축과 만나는 점까지의 거리와 접선의 길이로 나타난다. 피타고라스 정리에서 \(1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta\), \(1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\)가 나오고, 원래 함수가 0인 곳에서 그래프는 점근선을 가진다. 처음 질문의 접선에서 \(OX = \sec\theta\), \(OY = \csc\theta\), 접선의 두 부분은 \(\tan\theta\)와 \(\cot\theta\)이며, \(\theta \to 0+\)이면 \(\csc\theta\)와 \(\cot\theta\)가 끝없이 길어진다.