삼각함수의 극한과 미분

계산기를 라디안 모드로 두고 \(\sin 0.1\)을 계산하면 \(0.0998\), \(\sin 0.01\)은 \(0.0099998\)이 나온다. 작은 각에서는 \(\sin x\)가 \(x\)와 거의 같다. 이 사실은 우연일까? 그리고 \(\sin x\) 그래프의 접선 기울기를 모아 그리면 어떤 그래프가 될까?

각 \(x\) (라디안)

2.3.1\(\frac{\sin x}{x}\)의 극한

반지름 1인 원에서 중심각 \(x\) (\(0 < x < \frac{\pi}{2}\))에 대한 세 도형의 넓이를 비교하자. 삼각형 \(OAP\)의 넓이는 \(\dfrac{1}{2}\sin x\), 부채꼴 \(OAP\)의 넓이는 \(\dfrac{1}{2}x\), 접선으로 만든 큰 삼각형의 넓이는 \(\dfrac{1}{2}\tan x\)이다. 그림에서 보듯 차례로 포함되므로 \(\sin x < x < \tan x\)이다.

각 변을 \(\sin x\)로 나누고 역수를 취하면 \(\cos x < \dfrac{\sin x}{x} < 1\)이다. \(x \to 0+\)일 때 \(\cos x \to 1\)이므로 조임 정리에 의해 \(\dfrac{\sin x}{x} \to 1\)이다. \(\dfrac{\sin x}{x}\)는 짝함수이므로 왼쪽 극한도 같다.

그림 1의 슬라이더로 \(x\)를 줄여 보면 \(\dfrac{\sin x}{x}\)가 \(\cos x\)와 1 사이에 끼인 채 1로 다가간다. 이 극한이 깔끔하게 1이 되는 것은 각을 라디안으로 쟀기 때문이다.¹

2.3.2사인·코사인함수의 도함수

덧셈정리를 써서 \(y = \sin x\)의 도함수를 정의대로 구하면 \[\frac{\sin(x + h) - \sin x}{h} = \sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h}\] 이고, \(h \to 0\)이면 \(\sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x\)이다.

2.3.3예제 풀이

\(\dfrac{\sin 3x}{2x} = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{\sin 3x}{3x}\)이고 \(3x \to 0\)이므로 극한은 \(\dfrac{3}{2}\)이다.

분모와 분자에 \(1 + \cos x\)를 곱하면 \[\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1 - \cos^2 x}{x^2(1 + \cos x)} = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \cdot \frac{1}{1 + \cos x}\] 이고, \(x \to 0\)이면 \(1^2 \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\)이다. 그러므로 0 근처에서 \(\cos x \approx 1 - \dfrac{x^2}{2}\)로 어림할 수 있다. 실제로 \(\cos 0.1 = 0.99500\)이고 \(1 - 0.005 = 0.995\)이다.

아래 탐구 카드에서 \(\dfrac{\sin x}{x}\)의 극한과 사인함수의 기울기 그래프를 직접 확인해 보자.

1. 각을 도(°)로 재면 \(\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x°}{x} = \dfrac{\pi}{180}\)이 되어 도함수에도 \(\dfrac{\pi}{180}\)이 붙는다. 미적분에서 라디안을 쓰는 까닭이다.