음함수와 역함수의 미분
본문원 \(x^2 + y^2 = 25\) 위의 점 \((3, 4)\)에서 접선의 기울기를 구하려면, \(y = \sqrt{25 - x^2}\)로 풀어서 미분해야 할까? 위쪽 반원과 아래쪽 반원을 따로 다루어야 하니 번거롭다. 또 \(x^3 + y^3 = 6xy\)처럼 \(y\)에 대해 풀기조차 어려운 곡선도 있다. 식을 풀지 않고 그대로 미분할 수는 없을까?
2.7.1음함수의 미분법
\(x\)와 \(y\)의 관계가 \(f(x, y) = 0\) 꼴로 주어진 것을 음함수 표현이라 한다. 이 식에서 \(y\)를 \(x\)의 함수로 보고, 양변을 \(x\)에 대해 미분한다. 이때 \(y\)가 들어 있는 항은 합성함수의 미분법에 따라 \(\dfrac{dy}{dx}\)가 곱해진다. 예를 들어 \(\dfrac{d}{dx}(y^2) = 2y\dfrac{dy}{dx}\)이다.
\(f(x, y) = 0\)의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하고(\(y\)의 식에는 \(y'\)을 곱한다), 그 식을 \(y'\)에 대하여 정리한다.
\(x^2 + y^2 = 25\)를 미분하면 \(2x + 2y\,y' = 0\)이므로 \(y' = -\dfrac{x}{y}\) (\(y \ne 0\))이다. 위쪽 반원과 아래쪽 반원이 한 식에 함께 들어 있다. 반지름의 기울기는 \(\dfrac{y}{x}\)이므로 접선의 기울기와의 곱이 \(-1\), 곧 접선과 반지름은 수직이다. 그림 1에서 점을 돌려 보면 언제나 그렇다.
2.7.2역함수의 미분법
\(y = f^{-1}(x)\)이면 \(x = f(y)\)이다. 이 식을 음함수로 보고 양변을 \(x\)에 대해 미분하면 \(1 = f'(y)\dfrac{dy}{dx}\)이므로 다음을 얻는다.
\[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{dx/dy},\qquad (f^{-1})'(a) = \frac{1}{f'(b)}\quad (\text{단, } f(b) = a,\ f'(b) \ne 0)\]
역함수의 그래프는 원래 그래프를 직선 \(y = x\)에 대해 뒤집은 것이므로, 대응하는 점의 접선도 뒤집혀 기울기가 역수가 된다. \(y = \ln x\)를 \(x = e^y\)로 보고 미분하면 \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{e^y} = \dfrac{1}{x}\)로, 앞에서 구한 결과와 같다.1
2.7.3예제 풀이
\(f(x) = x^3 + x + 1\)의 역함수를 \(g(x)\)라 할 때 \(g'(3)\)을 구하여라.
\(g(x)\)의 식을 직접 구하기는 어렵다. 그러나 \(g(3) = b\)이면 \(f(b) = 3\)이므로 \(b^3 + b + 1 = 3\)에서 \(b = 1\)이다(\(f\)는 증가함수이므로 근은 하나뿐이다).
\(f'(x) = 3x^2 + 1\)이므로 \(f'(1) = 4\)이고, 역함수의 미분법에 의해 \(g'(3) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{4}\)이다. 역함수의 식을 모르고도 한 점에서의 기울기는 정확히 구할 수 있다.
아래 탐구 카드에서 음함수의 접선 기울기와, 식을 모르는 역함수의 기울기를 직접 구해 보자.
- \(x^3 + y^3 = 6xy\)를 미분하면 \(3x^2 + 3y^2y' = 6y + 6xy'\)이므로 \(y' = \dfrac{2y - x^2}{y^2 - 2x}\)이다. \(y\)에 대해 풀지 않고도 기울기를 구할 수 있다.
음함수 \(f(x, y) = 0\)은 \(y\)를 \(x\)의 함수로 보고 양변을 미분하여 \(y'\)을 구하며, \(y\)의 항에는 합성함수의 미분법으로 \(y'\)이 곱해진다. 역함수의 도함수는 원래 함수의 도함수의 역수이다. 그래서 처음 질문의 원 위의 점 \((3, 4)\)에서 접선의 기울기는 식을 풀지 않고도 \(-\tfrac{3}{4}\)으로 바로 구할 수 있다.