합성함수의 미분법
본문톱니바퀴 세 개가 맞물려 있다. 첫째 바퀴가 1바퀴 돌 때 둘째가 3바퀴, 둘째가 1바퀴 돌 때 셋째가 2바퀴 돈다면, 첫째가 1바퀴 돌 때 셋째는 몇 바퀴 돌까? 답은 \(3 \times 2 = 6\)바퀴이다. 함수 \(y = \sin(x^2)\)처럼 함수 안에 함수가 들어 있을 때, 변화율도 이렇게 곱하면 될까?
2.5.1합성함수의 미분법
\(y = f(u)\), \(u = g(x)\)라 하자. \(x\)가 \(\Delta x\)만큼 변하면 \(u\)가 \(\Delta u\)만큼, 그에 따라 \(y\)가 \(\Delta y\)만큼 변한다. \(\Delta u \ne 0\)이면 \[\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}\] 이다. \(\Delta x \to 0\)이면 \(\Delta u \to 0\)이므로, 양변의 극한을 취하면 두 변화율의 곱이 된다. 톱니바퀴의 회전수를 곱한 것과 같다.
\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx},\qquad \{f(g(x))\}' = f'(g(x))\,g'(x)\] 바깥 함수를 미분하되 안쪽은 그대로 두고, 안쪽 함수의 도함수를 곱한다.
그림 1에서 \(x\)를 움직여 보자. \(x\)가 0에서 멀어질수록 안쪽 \(u = x^2\)가 빠르게 변하므로(\(2x\)가 큼) 그래프가 점점 촘촘하게 출렁인다. 접선의 기울기는 \(\cos(x^2) \cdot 2x\)로, 두 변화율을 곱한 값이다.1
2.5.2실수 지수의 거듭제곱
\(x > 0\)이고 \(r\)이 실수일 때 \(x^r = e^{r\ln x}\)이다. 바깥 함수 \(e^u\), 안쪽 함수 \(u = r\ln x\)로 보고 합성함수의 미분법을 쓰면 \[(x^r)' = e^{r\ln x} \cdot \frac{r}{x} = x^r \cdot \frac{r}{x} = rx^{r-1}\] 이다. 그래서 \((x^n)' = nx^{n-1}\)은 지수가 \(\sqrt{2}\) 같은 무리수여도 성립한다. 또 \(\ln|f(x)|\)를 미분하면 \(\dfrac{f'(x)}{f(x)}\)인데, 이를 이용해 복잡한 곱이나 거듭제곱을 로그를 취해 미분하기도 한다.
2.5.3예제 풀이
다음 함수를 미분하여라. (1) \(y = (2x^2 + 1)^5\) (2) \(y = e^{\sin x}\) (3) \(y = \ln(x^2 + 1)\)
(1) \(u = 2x^2 + 1\)로 놓으면 \(y = u^5\)이므로 \(y' = 5u^4 \cdot 4x = 20x(2x^2 + 1)^4\)이다. 전개해서 미분했다면 10차식을 다루어야 했다.
(2) 바깥 \(e^u\)의 도함수는 \(e^u\), 안쪽 \(\sin x\)의 도함수는 \(\cos x\)이므로 \(y' = e^{\sin x}\cos x\)이다. (3) 바깥 \(\ln u\)의 도함수는 \(\dfrac{1}{u}\), 안쪽의 도함수는 \(2x\)이므로 \(y' = \dfrac{2x}{x^2 + 1}\)이다. 세 경우 모두 '바깥을 미분하고 안쪽의 도함수를 곱한다'는 한 가지 규칙만 썼다.
아래 탐구 카드에서 안쪽과 바깥 변화율이 곱해지는 모습과 실수 지수의 미분을 직접 확인해 보자.
- \(\Delta u = 0\)이 되는 경우가 있으면 \(\Delta u\)로 나눌 수 없으므로, 엄밀한 증명은 조금 다르게 한다. 그래도 결과는 같다.
합성함수 \(f(g(x))\)의 도함수는 바깥 함수의 도함수에 안쪽 함수의 도함수를 곱한 \(f'(g(x))g'(x)\)이다. 이를 써서 실수 지수에서도 \((x^r)' = rx^{r-1}\)임을 보일 수 있다. 그래서 처음 질문처럼 함수 안에 함수가 든 경우의 변화율은 톱니바퀴처럼 각 단계의 변화율을 곱하면 된다.